Un saut stratosphérique : la chute libre mise à l'épreuve

Deuxième exercice du sujet 2 de Métropole de mars 2021, « Un saut stratosphérique » compte pour 5 points et se traite en 55 minutes environ. Il s'appuie sur le saut de Félix Baumgartner, parti de 38 969 m d'altitude. La démarche est progressive : on vérifie d'abord que le champ de pesanteur est uniforme, on applique ensuite le modèle de la chute libre, puis on le critique en introduisant la force de frottement de l'air et la vitesse limite. C'est un exercice de mécanique très représentatif du programme de terminale.

Questions 1.1 et 1.2 : un champ de pesanteur uniforme

La formule donnée permet de calculer g à 11 km et à 50 km : 9,776 et 9,658 m/s², soit un écart d'environ 0,12 m/s². Les distances peuvent rester en kilomètres, car le rapport des carrés n'a pas d'unité, mais il ne faut pas mélanger kilomètres et mètres dans la parenthèse. L'écart relatif, rapporté à la valeur à 50 km comme l'exige l'énoncé, vaut 1,2 %, sous le seuil de 2 % : le champ peut être considéré comme uniforme.

Questions 2 et 3 : l'équation horaire

La démarche attendue est classique : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids, deuxième loi de Newton, projection sur l'axe vertical orienté vers le haut. Le signe moins de l'accélération est le point de vigilance, comme les deux constantes d'intégration, à justifier par les conditions initiales. On obtient z(t) = −½ g t² + z départ. La vitesse atteint 307 m/s au bout de 31,8 s ; plutôt que de réutiliser cette valeur arrondie, l'expression littérale z départ − v²/2g donne directement une altitude d'environ 34,1 km.

Question 4 : le mur du son

La vitesse du son dépend de l'altitude : il faut la lire sur la figure 1 à environ 34 100 m, et non prendre la valeur au sol de 340 m/s. On estime environ 307 m/s : dans ce modèle, le sauteur atteint tout juste la vitesse du son, à la précision de la lecture graphique.

Question 5 : critiquer le modèle

À 33 446 m, la masse volumique de l'air lue sur la figure 2 vaut environ 0,010 kg/m³. La force de frottement atteint alors environ 3,8 × 10² N, pour un poids de 1,16 × 10³ N : elle en vaut à peu près le tiers. Une force n'est négligeable que si elle est au moins dix fois plus faible : le modèle de la chute libre n'est pas adapté. Le frottement explique aussi que la vitesse du son soit atteinte plus bas que prévu.

Questions 6 et 7 : la vitesse limite

Le piège principal est de lire la masse volumique à 20 000 m : la vitesse limite est atteinte 4 000 m plus bas, donc la lecture se fait à 16 000 m, environ 0,17 kg/m³. En écrivant que le frottement compense le poids, on trouve une vitesse limite d'environ 1,3 × 10² m/s, très inférieure à la vitesse du son. La question 7 en tire la conclusion qualitative : plus l'air est rare, plus la vitesse limite est grande, d'où l'intérêt de s'élancer depuis la haute stratosphère.

Conseils pour réussir

Gardez les valeurs intermédiaires en mémoire, adaptez le nombre de chiffres significatifs à la précision des lectures graphiques et rédigez chaque comparaison avec un critère explicite. Le corrigé détaillé reprend toutes les questions avec les lectures commentées.