L'exploration de l'astéroïde Ryugu : un exercice de mécanique et d'image numérique

Le deuxième exercice du sujet de rattrapage de Polynésie 2019, noté sur 7 points pour environ 1 h 10, suit la sonde Hayabusa 2 jusqu'à l'astéroïde Ryugu. Il mobilise trois chapitres distincts : le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme, avec la propulsion ionique, le traitement d'une image numérique, puis la chute de l'atterrisseur Mascot dans le champ de pesanteur très faible de l'astéroïde.

Partie 1 : le moteur ionique

La question 1.1 demande d'orienter le champ électrostatique entre deux grilles pour accélérer un ion Xe+. La clé est le signe de la charge : la force électrique a le même sens que le champ pour une charge positive, donc le champ est orienté de la grille 1 vers la grille 2. Le travail de la force électrique vaut ensuite W = eEd, un travail moteur. En 1.2.2, on égale ce travail à l'énergie cinétique acquise et on utilise E = U/d : la distance entre les grilles disparaît, et l'on obtient l'expression de la vitesse demandée. L'application numérique donne une vitesse d'environ 4,69 × 10^4 m/s ; attention à placer toute la fraction sous la racine à la calculatrice.

La question 1.3 traite de la propulsion par réaction : le système {sonde + ions} est isolé, sa quantité de mouvement nulle au départ se conserve, d'où une relation vectorielle avec un signe moins qui explique que la sonde parte à l'opposé de la tuyère. Le calcul de durée de fonctionnement des moteurs piège sur deux points : convertir les milligrammes en kilogrammes et ne pas oublier les trois moteurs. On trouve environ 6,5 × 10^7 s, soit 2,1 ans, bien moins que les six ans de mission, ce qui suggère que les moteurs ne fonctionnent que par périodes.

Partie 2 : la photographie de Ryugu

Un pixel représente environ 2,1 m, puisque 1,1 km se répartit sur 512 pixels : un détail de 3 m est donc visible, mais de justesse. L'estimation du diamètre demande une mesure à la règle et un calcul de proportionnalité ; le corrigé obtient environ 0,8 km, cohérent avec les 900 m annoncés pour un objet de forme irrégulière. La durée de transmission de l'image, environ 66 s, impose de convertir les octets en bits, faute de quoi le résultat est huit fois trop petit.

Partie 3 : la chute de Mascot

La question 3.1 est une démonstration classique : système, référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton, puis deux recherches de primitives avec les conditions initiales. Les erreurs fréquentes sont l'oubli du signe moins sur l'accélération verticale et l'oubli de la hauteur h dans y(t). En 3.2, la date d'arrivée au sol s'obtient avec y = 0, et la vitesse au contact vaut environ 0,13 m/s. Le piège consiste à ne garder que la composante verticale : la composante horizontale v0 subsiste jusqu'au sol. Le corrigé propose aussi une vérification par l'énergie.

Conseils pour réussir

Justifiez toujours le sens d'un champ par le signe de la charge, surveillez les unités (mg, kg, octets, bits) et rédigez les démonstrations de mécanique selon un plan fixe. La propulsion par réaction et l'image numérique ne figurent plus au programme actuel, mais les parties sur le champ électrique et la chute libre restent des incontournables.