Une goutte d'huile, de la chute libre aux ondes

Cet exercice de 4 points du bac S Polynésie rattrapage 2010 suit une goutte d'huile lâchée au-dessus d'une cuve à ondes. La première partie relève de la mécanique de Newton, la deuxième et la troisième des ondes mécaniques progressives : célérité, longueur d'onde, fréquence puis diffraction. Il permet de réviser en un seul sujet deux chapitres importants de terminale S.

Partie 1 : la chute dans l'air

Les frottements étant négligés, la goutte n'est soumise qu'à son poids et à la poussée d'Archimède exercée par l'air. Après conversion du volume en mètres cubes, on trouve P = 4,0 × 10^-3 N et Π = 6,5 × 10^-6 N. Le rapport P/Π se réduit au rapport des masses volumiques et vaut environ 600 : la poussée d'Archimède est négligeable devant le poids. La deuxième loi de Newton donne alors a = g = 10 m·s^-2, puis, par deux primitives et les conditions initiales, Z(t) = 5,0 t². La goutte touche l'eau au bout d'environ 0,45 s, avec une vitesse v = √(2gH) = 4,5 m·s^-1.

Partie 2 : les ondes à la surface de l'eau

Une onde est la propagation d'une perturbation de proche en proche, sans transport de matière mais avec transport d'énergie. Chaque point de la surface monte et descend alors que l'onde avance horizontalement : l'onde est transversale. Pour la célérité, il faut compter les intervalles entre l'image n°1 et l'image n°5, soit quatre intervalles de 0,10 s. Le rayon du front d'onde se mesure grâce à la règle de 30 cm et vaut environ 15,8 cm, d'où v ≈ 0,39 m·s^-1.

Partie 3 : des ondes en continu

Avec des gouttes qui tombent régulièrement, l'onde devient périodique. En mesurant plusieurs intervalles d'un coup à l'aide de la règle, on obtient une distance entre cercles d'environ 8 cm : c'est la longueur d'onde. Avec la célérité donnée de 0,38 m·s^-1, la relation λ = V/f donne f ≈ 4,8 Hz, soit environ cinq gouttes par seconde. Devant une ouverture de 3 cm, plus petite que la longueur d'onde, l'onde est diffractée : au-delà de l'obstacle, les fronts d'onde deviennent des demi-cercles centrés sur l'ouverture, toujours espacés de λ.

Pièges et conseils

Compter cinq intervalles au lieu de quatre entre l'image n°1 et l'image n°5, ou prendre le diamètre du cercle au lieu du rayon, faussent la célérité. Laisser λ en centimètres donne une fréquence cent fois trop petite. Sur l'annexe, la diffraction ne modifie ni la fréquence ni la célérité : les demi-cercles doivent garder le même écartement que les cercles incidents. Enfin, justifie toujours une approximation par un rapport chiffré, comme ici le facteur 600 entre le poids et la poussée d'Archimède.