Trois mesures pour une même résistance
L'exercice « Résistance d'une bobine réelle » du bac S Polynésie 2006 vaut 6 points, soit environ 1 h 18. Un étudiant cherche la résistance r d'une bobine d'inductance 250 mH, modélisée par un dipôle (r, L) en série, et procède à trois essais : en régime permanent, en régime transitoire, puis en régime oscillatoire. Le sujet demande de tenir compte de la précision des données dans l'écriture des résultats.
Partie A : régime permanent
L'ampèremètre se place en série, le courant entrant par la borne mA et sortant par COM ; le voltmètre se branche en dérivation aux bornes de la bobine. Inverser les bornes donnerait des valeurs négatives. En régime permanent, i est constante, donc di/dt = 0 et ub = r i : la bobine se comporte comme un conducteur ohmique. Avec Ub = 5,95 V et Ib = 410 mA, il faut convertir l'intensité en ampères pour obtenir r1 = 5,95/0,410 = 14,5 Ω, avec trois chiffres significatifs.
Partie B : régime transitoire
À la fermeture de l'interrupteur, l'intensité ne passe pas instantanément à sa valeur finale : la bobine s'oppose aux variations du courant, c'est l'établissement progressif du courant. Pour visualiser i(t), on mesure la tension aux bornes du conducteur ohmique R', voie d'entrée en A et référence en B, car uAB = R' i est proportionnelle à l'intensité. Se brancher aux bornes de la bobine serait une erreur, puisque ub = r i + L di/dt n'est pas proportionnelle à i.
La constante de temps se lit à 63 % de la valeur limite : 0,63 × 240 = 151 mA, atteint pour τ = 10 ms. L'analyse dimensionnelle montre que τ = L/(R' + r) est homogène à un temps ; le piège est d'oublier la résistance r dans la résistance totale. On en déduit r2 = L/τ − R' = 0,250/0,010 − 10,0 = 15 Ω, avec deux chiffres seulement puisque τ n'est connue qu'à deux chiffres.
Après 5τ, le régime est permanent : E = R' I∞ + r I∞, d'où r3 = E/I∞ − R' = 6,00/0,240 − 10,0 = 15,0 Ω. Les trois valeurs s'accordent à environ 3 % près : elles sont cohérentes, r ≈ 15 Ω.
Partie C : régime oscillatoire
La période propre d'un oscillateur LC s'écrit T0 = 2π√(LC). Avec L = 0,250 H et C = 4 × 10-6 F, le calcul donne 6,3 × 10-3 s, que l'on arrondit à 6 ms puisque C n'a qu'un chiffre significatif. Les oscillations observées sont amorties, car la résistance de la bobine dissipe de l'énergie par effet Joule à chaque passage du courant. Deux pseudo-périodes occupant entre 6,2 et 6,4 divisions de 2 ms, on obtient 6,2 ms < T < 6,4 ms. Mesurer plusieurs pseudo-périodes réduit l'incertitude de lecture. Avec un seul chiffre significatif, T est égale à T0 : lorsque l'amortissement est faible, la pseudo-période est pratiquement égale à la période propre.
Conseils
Soignez les schémas de l'annexe, convertissez systématiquement les milliampères et les millihenrys, et adaptez le nombre de chiffres significatifs aux données. Le corrigé détaillé propose les schémas complétés, la lecture graphique de τ et les calculs pas à pas.