Une minuterie d'escalier modélisée par un circuit RC

L'exercice 2 du bac S Polynésie 2005 étudie le principe d'une minuterie qui éteint automatiquement une lampe au bout d'une durée réglable. Un condensateur se charge à travers un conducteur ohmique sous une tension E = 30 V, et un composant électronique maintient la lampe allumée tant que la tension aux bornes du condensateur reste inférieure à une valeur limite fixée à 20 V. C'est le plus gros exercice de l'épreuve : 7,5 points, soit environ 1 h 31. Il combine l'étude analytique de la charge et une résolution numérique par la méthode d'Euler.

Partie I : branchements et équation différentielle

Pour visualiser u_C à l'oscilloscope, la voie 1 se branche en B et la masse en D, puisque l'oscilloscope affiche la différence entre la tension de la voie et celle de la masse. L'établissement de l'équation différentielle suit trois étapes incontournables : loi des mailles, loi d'Ohm, puis relation i = C du_C/dt avec une convention récepteur bien orientée. On aboutit à u_C + RC du_C/dt = E. Le piège principal est d'écrire des signes sans avoir orienté le courant sur le schéma.

Solution, constante de temps et lecture graphique

En reportant u_C(t) = A(1 - e^-t/τ) dans l'équation, on montre que l'égalité n'est vraie à chaque instant que si A = E et τ = RC. Poser directement ces valeurs sans justification ne rapporte rien. En régime permanent, la dérivée est nulle et u_C = E = 30 V. L'analyse dimensionnelle, à partir de la loi d'Ohm et de q = C u_C = I Δt, montre que RC est homogène à un temps : τ est la constante de temps et s'exprime en secondes. Sur le graphe, E se lit sur l'asymptote horizontale, τ à l'abscisse du point où la tangente à l'origine coupe cette asymptote, environ 20 s, et le régime permanent commence vers 100 s, soit environ 5τ.

Durée d'allumage et réglage de la minuterie

Avec R = 100 kΩ et C = 200 µF, on trouve τ = 20,0 s. Il faut penser à convertir les kilohms et les microfarads. La date t₀ à laquelle u_C atteint la tension limite s'obtient en isolant l'exponentielle puis en passant au logarithme : t₀ = τ ln(E/(E - U_ℓ)) = 20,0 × ln 3, soit 22 s, ce que confirme la lecture du graphe. Choisir une durée très supérieure à τ serait peu judicieux : la courbe est alors presque horizontale et la moindre variation de U_ℓ ou de E changerait beaucoup la durée d'allumage. Pour allonger cette durée sans changer le générateur, on augmente R ou C, et une constante de temps d'une minute impose R = 3,0 × 10⁵ Ω. Enfin, l'appui sur le bouton poussoir court-circuite et décharge le condensateur : u_C devient nulle, la lampe allumée le reste et la minuterie repart, la lampe éteinte se rallume.

Partie II : la méthode d'Euler

L'équation différentielle donne du_C/dt = (E - u_C)/RC. Avec un pas de 2 s, chaque colonne du tableau se remplit en deux temps : nouvelle tension, puis nouvelle dérivée. On obtient u_C(2) = 3,00 V avec une dérivée de 1,35 V·s^-1, puis u_C(4) = 5,70 V avec 1,22 V·s^-1. Reportés sur l'agrandissement de la courbe, les points d'Euler suivent l'allure de la courbe expérimentale mais restent légèrement au-dessus, avec un écart qui grandit au fil des calculs. Pour améliorer la précision, il faut diminuer le pas, au prix d'un nombre de calculs bien plus grand.

Conseils

Soignez la démonstration de l'équation différentielle et la vérification de la solution, qui rapportent des points sûrs. Sur les graphes, laissez apparaître les tracés de lecture, et dans le tableau d'Euler, recalculez la dérivée à chaque étape à partir de la nouvelle tension.