Un orage pour réviser la décharge d'un condensateur

Cet exercice de 4 points, prévu pour environ 52 minutes, part d'un phénomène familier : l'orage. Le système formé par la base du nuage, l'air et le sol est assimilé à un condensateur géant, chargé sous une tension de l'ordre de 100 millions de volts, qui se décharge dans un conducteur ohmique, le canal ionisé. L'exercice enchaîne ensuite deux questions sur le tonnerre, puis la célèbre règle qui permet d'estimer la distance d'un orage.

La décharge du condensateur

La loi des mailles et la loi d'Ohm donnent la relation entre les tensions. Le point délicat est le signe de la relation entre l'intensité et la charge : il dépend seulement de l'orientation choisie. Ici la flèche de i pointe vers l'armature portant la charge +q, donc i = dq/dt, même pendant une décharge. On obtient l'équation différentielle demandée avec τ = rC. L'analyse dimensionnelle montre que τ est homogène à un temps, et la dérivation de U e^-t/τ permet de vérifier la solution.

Foudre et sécurité

En dérivant la tension, on retrouve i(t) = -I e^-t/τ avec I = U/r. L'intensité est négative et tend vers zéro : c'est la courbe A de l'annexe, qui part de -30 kA. Choisir la courbe B parce que le texte annonce 30 kiloampères est le piège attendu, car le texte donne une valeur absolue. Pour la constante de temps, on cherche la date où l'intensité vaut 37 % de sa valeur initiale, soit -11 kA, ou l'intersection de la tangente à l'origine avec l'asymptote : τ = 30 µs. La décharge dure environ 5τ, donc 150 µs, réponse b ; répondre 30 µs revient à confondre τ et la durée de la décharge. L'énergie stockée, E = CU²/2, donne enfin une capacité d'environ 10 nF, à condition de ne pas oublier le carré sur U ni la conversion en nanofarads.

Le tonnerre

La définition d'une onde mécanique progressive doit contenir deux éléments : un milieu matériel et l'absence de transport de matière. Le tonnerre, onde sonore faite de compressions et de dilatations dans la direction de propagation, est une onde longitudinale. Avec une célérité de 340 m/s, les longueurs d'onde audibles vont de 17 m pour 20 Hz à 1,7 cm pour 20 kHz ; oublier de convertir les kilohertz donnerait deux fois le même résultat.

Mesurer la distance de l'orage

L'éclair et le bruit partent ensemble, la durée qui les sépare est la différence des deux durées de trajet. Comme la lumière est environ un million de fois plus rapide que le son, son trajet est négligeable, et la distance en kilomètres vaut à peu près le nombre de secondes multiplié par 0,340, c'est-à-dire divisé par trois. Pour 6 s, on trouve bien environ 2 km.

Conseils pour cet exercice

Annoncez clairement l'orientation et la convention utilisées dans le circuit, tracez votre lecture de τ sur l'annexe à rendre, et vérifiez la cohérence finale : U/I et la capacité donnent rC proche de 33 µs, en accord avec la valeur lue.