La quête du grave : la corde vibrante de l'octobasse
Cet exercice de spécialité du bac S 2013 de Métropole, session de rattrapage, vaut 5 points et se traite en 50 minutes environ. Il remplace l'exercice 3 pour les candidats qui suivaient l'enseignement de spécialité physique-chimie de l'ancien programme. Le thème est musical : un luthier cherche à fabriquer une octobasse, un instrument de près de 4 m de haut capable de descendre plus bas que la contrebasse. Trois documents fournissent les relations de la corde vibrante, les fréquences des notes et le cahier des charges de l'instrument.
Question 1 : la relation de la corde vibrante
Dans le mode fondamental, la longueur de la corde vaut une demi-longueur d'onde : λ = 2L. Avec λ = v/f, on obtient f = v/(2L), puis, en remplaçant la célérité par √(T/μ), la relation f = (1/2L)√(T/μ). Cette démonstration est courte mais doit être rédigée en enchaînant les relations du document, sans en sauter. La relation λ = v/f figure toujours au programme actuel.
Question 2 : allonger la corde de la contrebasse
Si la tension et la masse linéique restent celles de la corde mi0 de la contrebasse, la célérité est la même et le produit f × L est constant. La longueur nécessaire pour émettre un do-1 s'obtient par le rapport des fréquences : L-1 = (41,2/16,3) × 1,05 = 2,65 m. Cette longueur dépasse les 2,18 m imposés par le cahier des charges : le luthier ne peut pas se contenter d'allonger la corde. Le piège classique est d'inverser le rapport des fréquences. Un son plus grave demande une corde plus longue : un résultat de 0,415 m signale l'erreur.
Question 3 : la résolution de problème
C'est la partie la plus ouverte. Il faut d'abord obtenir le do-1 à vide avec une corde de 2,18 m. La longueur étant imposée, la célérité doit diminuer : elle vaut 71,1 m/s pour cette corde contre 86,5 m/s pour la corde mi0 de la contrebasse. Le rapport T/μ doit donc être multiplié par 0,675 : le luthier choisit une corde moins tendue, ou de masse linéique plus grande, ou les deux. À tension égale, la masse linéique doit être multipliée par 1,48.
Il faut ensuite jouer le ré-1 avec la même corde. La tension et la masse linéique sont alors fixées, donc la célérité aussi : la seule possibilité pendant le jeu est de raccourcir la partie vibrante, rôle des doigts métalliques commandés par des manettes. Le produit f × L restant constant, la longueur vibrante vaut 1,94 m, et le doigt appuie à 0,24 m de l'extrémité haute de la corde. Cette solution respecte le cahier des charges. Proposer de retendre la corde pour passer du do-1 au ré-1 serait une erreur : on ne peut pas le faire en jouant.
Pièges et conseils
Une résolution de problème se rédige comme une démarche : séparez ce qui est fixé à la fabrication, la tension, la masse linéique et la longueur à vide, de ce qui change pendant le jeu, la longueur vibrante. Chiffrez chaque solution et confrontez-la au cahier des charges. Gardez trois chiffres significatifs, comme les données. Une remarque enrichit la copie : le do-1, à 16,3 Hz, est sous la limite audible de 20 Hz, si bien que l'oreille ne perçoit pas le fondamental seul. La limite du grave dépend donc aussi de l'auditeur.