L'ascenseur spatial : un satellite géostationnaire relié au sol

Ce premier exercice du bac S 2013 de Métropole, session de rattrapage, vaut 5 points et se traite en 50 minutes environ. Il porte sur la mécanique céleste de l'ancien programme : satellite géostationnaire, lois de Kepler et deuxième loi de Newton. Le contexte est original : un câble partirait du sol jusqu'à un satellite placé à 36 000 km d'altitude, et des cabines monteraient le long de ce câble. Deux documents guident le raisonnement, un texte de présentation et un graphique donnant la vitesse orbitale V_O et la vitesse de libération V_L en fonction de l'altitude.

Questions 1.1 et 1.2 : définir le satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire reste à la verticale du même point de l'équateur. Sa vitesse dépend donc du référentiel : elle est nulle dans le référentiel terrestre, alors que dans le référentiel géocentrique le satellite fait un tour en 24 h, à environ 3 km/s d'après le graphique. Donner une seule vitesse est l'erreur la plus fréquente. La question 1.2 demande ensuite d'exploiter la deuxième loi de Kepler : le rayon de l'orbite est constant, donc des aires balayées égales correspondent à des arcs égaux, et la valeur de la vitesse est constante. Citer la loi sans faire ce lien ne suffit pas.

Questions 1.3 et 1.4 : accélération et vitesse orbitale

Dans le repère de Frenet, un mouvement circulaire uniforme a une accélération radiale et centripète, de valeur v²/r. La deuxième loi de Newton, appliquée au satellite soumis à la seule attraction de la Terre, donne la même direction et le même sens. Un mouvement uniforme n'a pas une accélération nulle : la direction de la vitesse change. La vitesse se calcule ensuite par v = 2π(R_T + h)/T_Géo, soit 3,1 × 10³ m/s. Le rayon de l'orbite vaut R_T + h et non h, et il faut convertir les kilomètres en mètres et les heures en secondes.

Question 1.5 et partie 2 : la cabine sur le câble

À 36 000 km, le satellite reste au-dessus de la base de départ : le câble peut rester tendu à la verticale. Sur le schéma, la vitesse ascensionnelle est portée par le câble, la vitesse orbitale lui est perpendiculaire. L'expression de V_O(z) est une fonction affine croissante de l'altitude, d'ordonnée à l'origine non nulle, ce qui correspond à la droite du graphique. Une montée de 36 000 km en cinq jours donne une vitesse ascensionnelle moyenne d'environ 83 m/s, à comparer aux 1,9 km/s de vitesse orbitale à 20 000 km d'altitude : un rapport d'environ 23. Une comparaison se conclut par un rapport, avec des vitesses exprimées dans la même unité.

Questions 2.5.1 et 2.5.2 : s'échapper de l'attraction terrestre

Un satellite largué du câble garde la vitesse orbitale du point qu'il quitte. Il s'échappe si cette vitesse atteint la vitesse de libération : l'intersection des deux courbes donne une altitude minimale d'environ 46 000 km. Depuis l'orbite géostationnaire, il faut fournir le complément d'énergie cinétique pour passer de 3,1 km/s à environ 4,4 km/s, soit environ 7,3 × 10⁹ J pour 1,5 tonne, apportés par un moteur. Le piège classique est d'écrire le carré de la différence des vitesses au lieu de la différence des carrés.

Conseils pour réussir

Précisez toujours le référentiel avant de parler de vitesse, menez séparément l'argument cinématique et l'argument dynamique, puis vérifiez la cohérence de vos calculs avec les lectures graphiques. Les lectures sur le document 2 doivent apparaître clairement sur la copie, avec leur ordre de grandeur. Enfin, convertissez toutes les longueurs en mètres et toutes les durées en secondes avant de poser une application numérique : c'est là que se perdent le plus de points.