Une bulle, trois modèles successifs

L'exercice 4 du bac S Métropole rattrapage 2006, noté sur 5,5 points (environ 1 h 05 conseillée), s'intéresse à l'effervescence d'une boisson gazeuse. La bulle naît sur un site de nucléation, remonte dans le liquide, puis éclate en surface. Le grand intérêt de l'exercice est de confronter des modèles de plus en plus fins à l'observation, ce qui demande un vrai regard critique. La calculatrice est interdite.

Naissance et décollement

La poussée d'Archimède est verticale et dirigée vers le haut ; sa valeur est F_A = ρ_eV₀g. Le piège est d'utiliser la masse volumique du gaz : c'est le liquide déplacé qui compte.

Ascension sans frottement

Le poids est négligeable

Le rapport P₀/F_A = ρ_dc/ρ_e vaut 1,8 × 10^-3 : le poids est environ 560 fois plus petit que la poussée. Il ne dépend ni du volume ni de g.

Deuxième loi de Newton

Pour le système bulle, de masse ρ_dcV₀, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la seule force retenue est la poussée. On obtient a_z = (ρ_e/ρ_dc)g, puis par intégration v(t) = (ρ_e/ρ_dc)gt. La bulle atteindrait la vitesse de 15 cm/s en 2,7 × 10^-5 s, soit environ 30 microsecondes. Penser à convertir la vitesse en m/s.

Confrontation à l'expérience

Or une bulle met une fraction de seconde à monter dans un verre. Le modèle prévoit une accélération de plusieurs milliers de m/s², plus de 500 fois g : il n'est pas valide, une force s'opposant au mouvement a été oubliée.

Ascension avec frottement fluide

On représente deux forces : la poussée vers le haut et le frottement f = −kv vers le bas. La deuxième loi de Newton donne l'équation différentielle dv/dt + kv/(ρ_dcV₀) = (ρ_e/ρ_dc)g ; attention au signe moins du frottement en projection. À la vitesse limite, dv/dt = 0, d'où v_lim = ρ_eV₀g/k : la poussée et le frottement se compensent. Mais l'application numérique donne environ 1 mm/s, soit environ 150 fois moins que la vitesse observée : ce modèle prévoit une montée beaucoup trop lente et n'est pas valide non plus.

Le volume de la bulle augmente

Le texte introductif l'indique : le gaz dissous rejoint la bulle pendant son ascension. La quantité de gaz n'est donc pas constante. Comme le volume croît en r³, la poussée augmente plus vite que le frottement, même si k augmente avec le rayon : les deux forces augmentent, et la bulle peut continuer d'accélérer.

L'éclatement en surface

Une caméra à 2000 images par seconde prend une image toutes les 500 microsecondes, alors que la calotte disparaît en quelques dizaines de microsecondes : la rupture se produit entre deux images. Ce n'est pas la résolution qui est en cause, mais la cadence. Enfin, l'onde circulaire est transversale : la surface se soulève et s'abaisse perpendiculairement à la direction de propagation.

Conseils

Précisez toujours système, référentiel et forces avant d'écrire la deuxième loi de Newton, et concluez chaque confrontation chiffrée par un avis clair sur la validité du modèle.