La physique d'un concert de violons

Cet exercice de spécialité du bac S Métropole 2011, noté sur 4 points (environ 52 minutes), suit les musiciens d'un orchestre depuis l'accord des instruments jusqu'au concert. Il couvre l'essentiel de l'acoustique musicale : caractéristiques d'un son, battements, ondes stationnaires sur une corde, niveau d'intensité sonore et gamme tempérée.

Partie 1 : le son d'un violon

Le violon et le diapason émettent des signaux de même période, donc de même fréquence 440 Hz : ils ont la même hauteur. Le signal du diapason est sinusoïdal alors que celui du violon est périodique mais complexe : les deux sons se distinguent par leur timbre. La plus petite fréquence du spectre, f₁, est la fréquence du fondamental. Les harmoniques ont des fréquences multiples de f₁ : f₂ = 880 Hz et f₃ = 1320 Hz. Piège : justifier par la forme des signaux, pas seulement par le nombre de pics.

Partie 2 : l'ensemble des violons

Sur la courbe 3, trois périodes de battement occupent trois graduations de 50 ms, soit T_batt = 50 ms et f_batt = 20 Hz, ce qui est bien égal à (460 − 420)/2. Mesurer plusieurs périodes d'un coup réduit l'incertitude de lecture. Quand les battements cessent, les deux fréquences sont égales : les violons sont accordés.

Pour le mode fondamental, la corde présente un seul fuseau, donc L = λ/2 et v = 2 L f₀. Attention, cette célérité est celle de l'onde le long de la corde, sans rapport avec la célérité du son dans l'air. L'analyse dimensionnelle montre que √(F/μ) s'exprime en m·s⁻¹. On en déduit f₀ = (1/2L)√(F/μ) : pour passer de 460 Hz à 440 Hz, il faut diminuer la tension de la corde.

Le niveau sonore minimal perceptible vaut bien 0 dB, puisque log(1) = 0. Pour dix violons, les intensités s'ajoutent et le niveau passe de 70 dB à 80 dB : multiplier l'intensité par 10 ajoute 10 dB. Piège : les niveaux en décibels ne s'additionnent pas. L'intensité d'un violon à 5 m vaut 1,0 × 10⁻⁵ W·m⁻² ; atteindre le seuil de danger demanderait dix mille violons, alors qu'un orchestre n'en compte que quelques dizaines.

Partie 3 : la gamme tempérée

L'octave est divisée en douze demi-tons de même rapport r. Le produit des douze rapports vaut 2, donc r¹² = 2 et r = 2^1/12, environ 1,06 : monter d'un demi-ton revient à multiplier la fréquence. Le si₃, deux demi-tons au-dessus du la₃, a pour fréquence 440 × 2^2/12 ≈ 494 Hz. À la calculatrice, l'exposant fractionnaire doit être placé entre parenthèses.

Conseils

Distingue toujours hauteur et timbre, manipule les logarithmes avec rigueur et vérifie l'ordre de grandeur de chaque fréquence obtenue.