Des ondes sismiques au sismographe : un exercice de synthèse en mécanique

Cet exercice de 9 points, le plus long de l'épreuve du bac S La Réunion 2010, part des ondes produites par un tremblement de terre pour arriver au fonctionnement d'un sismographe vertical. Il mobilise en trois parties les ondes mécaniques progressives, la réflexion d'une onde, la deuxième loi de Newton et l'oscillateur masse-ressort, jusqu'aux oscillations forcées et à la résonance.

Partie 1 : nature et célérité des ondes

Pour classer les ondes P, S et de Love, on compare deux directions : celle du déplacement de la matière et celle de la propagation. L'onde P, qui comprime et étire les roches le long de sa direction de propagation, est longitudinale ; les ondes S et de Love, qui déplacent le sol perpendiculairement, sont transversales. Comme autre exemple d'onde mécanique transversale, la corde tendue convient ; le son ne convient pas, car il est longitudinal, et la lumière n'est pas une onde mécanique. Le calcul de durée donne Δt = d/v = 833/6,0, soit 1,4 × 10² s, environ 2 min 20 s, avec deux chiffres significatifs seulement.

Partie 2 : la sismique réflexion

La longueur d'onde de la salve du camion vibreur vaut λ = v/f = 6,21 × 10³/14,0, soit 444 m, à condition de convertir la célérité en m·s^-1. Pour la profondeur de la première couche, le piège classique est d'oublier que la durée de 0,580 s correspond à un aller-retour : h = v·Δt'/2 = 1,80 × 10³ m. Lors de la réflexion, fréquence, célérité et longueur d'onde sont conservées ; seule l'amplitude diminue, car l'onde perd de l'énergie.

Partie 3 : l'oscillateur masse-ressort

À l'équilibre vertical, le principe d'inertie conduit à k·Δy = m·g, d'où k = 7,1 × 10³ N·m^-1 si l'on pense à exprimer Δy en mètres. Sur le support horizontal, le bilan comprend trois forces : le poids, la réaction du support et la force de rappel dirigée vers la position d'équilibre ; aucune « force de lancement » n'existe après le lâcher. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe Ox donne l'équation différentielle, puis la dérivation de la solution proposée permet de retrouver T₀ = 2π√(m/k). Le calcul donne T₀ = 0,10 s et f₀ = 10 Hz, valeurs confirmées par la lecture de cinq périodes sur la figure 6. Doubler la masse divise la fréquence propre par √2 et non par 2.

Le sismographe : oscillations forcées

Excité par l'onde du camion, le système oscille à la fréquence imposée f_S = 14,0 Hz. Une fréquence propre voisine place l'appareil près de la résonance, ce qui augmente l'amplitude du tracé et donc sa sensibilité. L'amortissement limite cette amplitude, protège l'appareil et évite que le solide continue d'osciller après le passage de l'onde.

Conseils pour réussir

Vérifier les unités avant chaque application numérique, toujours suivre le même plan en mécanique (système, référentiel, bilan des forces, loi de Newton, projection) et mesurer plusieurs périodes sur un graphe pour réduire l'incertitude de lecture.