Galilée, Aristote et la chute des corps

Cet exercice du bac S Métropole 2011, noté sur 5,5 points (environ 1 h 05), confronte trois extraits de Galilée aux lois de la mécanique. On étudie d'abord une chute libre idéale, puis une chute réelle dans l'air, avec deux boulets en fer d'une livre et de cent livres. C'est un exercice très complet : calcul littéral, deuxième loi de Newton, équation différentielle, analyse dimensionnelle et exploitation de courbes simulées.

Partie 1 : le modèle de la chute libre

À partir de l'équation horaire x(t) = ½ g t², on calcule les distances parcourues au bout de τ, 2τ et 3τ : ½ g τ², 2 g τ² et 9/2 g τ². Le piège classique est d'oublier la parenthèse : (2τ)² vaut 4τ² et non 2τ². Les distances parcourues pendant chaque intervalle successif valent alors h₁, 3h₁ et 5h₁ : on retrouve bien la suite des nombres impairs annoncée par Galilée.

Pour l'extrait n°2, il faut attribuer les propositions : la durée de chute diminue quand la masse augmente pour Aristote (proposition b), elle est indépendante de la masse pour Galilée (proposition c). La durée de chute libre depuis 57 m vaut Δt = √(2H/g) = 3,4 s, nettement moins que les cinq secondes annoncées. L'explication principale tient à l'imprécision de la mesure d'une durée aussi brève sans chronomètre.

Partie 2 : la chute réelle dans l'air

Trois forces s'exercent sur le boulet : le poids vers le bas, la poussée d'Archimède et le frottement vers le haut. Erreur fréquente : dessiner le frottement dans le sens du mouvement. Le rapport P/Π se réduit au rapport des masses volumiques du fer et de l'air, soit 6,10 × 10³ : la poussée d'Archimède est négligeable, et cette conclusion vaut pour les deux boulets.

La deuxième loi de Newton, projetée sur un axe orienté vers le bas, donne dv/dt = g − (π R² ρ_air C / 2m) v². Quand la vitesse limite est atteinte, la dérivée est nulle ; en remplaçant la masse par ρ_fer × 4/3 π R³, on obtient l'expression attendue de v_ℓ, dont on vérifie l'homogénéité à une vitesse en mettant d'abord de côté les grandeurs sans dimension.

Le rapport des vitesses limites vaut √(R₂/R₁), environ 2,1 : le gros boulet atteint la vitesse limite la plus élevée. Sur la figure 2, la courbe (b), avec un palier vers 190 m·s^-1, lui correspond, et la courbe (c), vers 90 m·s^-1, au petit boulet.

L'exploitation du zoom

Sur la figure 4, l'horizontale x = 57,0 m coupe la courbe (b') vers 3,43 s : le gros boulet arrive le premier. Le petit est alors à environ 56,0 m de hauteur parcourue, donc à 1,0 m du sol. C'est plus que les « deux doigts » de Galilée, mais sans commune mesure avec les 99 coudées, soit environ 56 m, attribuées à Aristote.

Conseils

Soigne les projections et les signes, garde les expressions littérales jusqu'au bout et lis les graphiques avec méthode : mesurer l'écart entre deux graduations, puis faire une proportion. Ne confonds pas la courbe (a'), qui décrit la chute libre, avec celle d'un boulet réel.