Un navire, un canon et beaucoup de physique

L'exercice 1 du bac S Métropole 2007, noté sur 7 points (environ 1 h 31 conseillée), s'appuie sur la galiote, un navire de guerre de la fin du XVII^e siècle qui projetait des boulets d'environ 100 kg jusqu'à 1 200 toises. Il comporte trois parties indépendantes : l'action de la poudre sur le boulet, la trajectoire du boulet, puis la restauration d'un boulet retrouvé en mer par électrolyse. La calculatrice est interdite : les aides au calcul fournies par l'énoncé servent de guide.

Partie 1 : la troisième loi de Newton

Il faut énoncer le principe des actions réciproques : si A exerce une force sur B, B exerce sur A une force de même droite d'action, de même valeur et de sens opposé. L'ensemble formé par la galiote, le canon et les gaz pousse le boulet, et le boulet exerce en retour sur cet ensemble une force aussi intense, dirigée vers l'arrière. C'est cette « réaction du boulet » que la structure du navire doit supporter. Le piège classique consiste à croire que les deux forces se compensent : elles ne s'appliquent pas au même objet.

Partie 2 : bilan des forces et trajectoire

La poussée d'Archimède vaut F_A = ρVg, soit 0,21 N avec un volume de 16 L converti en mètres cubes, tandis que le poids vaut P = mg = 1,0 × 10³ N. Comme 100 F_A reste très inférieur à P, la poussée est négligeable. En négligeant aussi les frottements, le boulet n'est soumis qu'à son poids : c'est une chute libre. La deuxième loi de Newton donne alors une accélération égale à g, que l'on intègre deux fois en utilisant les conditions initiales pour obtenir x(t) = (v₀ cos α) t et y(t) = −½ g t² + (v₀ sin α) t. En éliminant le temps, on obtient une trajectoire parabolique y = Ax² + Bx, avec A = −g / (2 v₀² cos² α), exprimé en m⁻¹, et B = tan α, sans unité.

La portée vient de y(d) = 0 : d = −B/A. Avec l'expression d = v₀² sin 2α / g, la portée est maximale quand sin 2α = 1, c'est-à-dire pour α = 45°. Pour une portée de 2 400 m, on trouve v₀ = √(g d_max) ≈ 1,5 × 10² m·s⁻¹. Si l'on tient compte des frottements, la vitesse initiale doit être supérieure pour atteindre la même portée.

Partie 3 : l'électrolyse du boulet

À l'anode se produit toujours une oxydation : les ions chlorure y sont oxydés en dichlore, et cette électrode est reliée à la borne positive du générateur. On exprime ensuite la charge Q = IΔt, le nombre d'électrons N = IΔt / e et la quantité n(e⁻) = IΔt / (e N_A). Un tableau d'avancement sur la réduction de l'eau montre que n(H₂) = n(e⁻) / 2. Avec une durée de 530 heures convertie en secondes, on obtient n(H₂) ≈ 10 mol, puis un volume d'environ 2,4 × 10² L.

Pièges et conseils

Les erreurs les plus fréquentes portent sur les conversions : les litres en mètres cubes pour la poussée d'Archimède, les heures en secondes pour la durée de l'électrolyse. Attention aussi au signe de la composante verticale de l'accélération, qui dépend de l'orientation de l'axe vertical, et à la définition de l'anode, qui ne change pas d'un dispositif à l'autre. Enfin, vérifier l'homogénéité de l'équation de la trajectoire est un bon moyen de contrôler ses expressions de A et de B.