Le sujet du Bac S 2013 Métropole rattrapage

Ce sujet de rattrapage, passé en septembre 2013 en Métropole, relève de l'ancien programme de Terminale S. L'épreuve dure 3 h 30 et se note sur 20 points. Le document contient quatre exercices, mais chaque candidat n'en traite que trois : l'exercice 1 sur l'ascenseur spatial (5 points), le long exercice 2 de chimie organique autour de l'aspartame (10 points), puis, selon son enseignement, soit l'exercice 3 sur le sauna (5 points) pour les candidats sans spécialité, soit l'exercice 4 de spécialité, la quête du grave (5 points). La chimie pèse donc la moitié de la note, et l'exercice 2 décide largement du résultat.

Le sujet est varié et bien équilibré pour l'entraînement : de la mécanique céleste, de la chimie organique avec stéréochimie et spectroscopies, des transferts thermiques dans un contexte domestique et une résolution de problème sur les ondes. Les questions de cours rapides côtoient des applications numériques et des questions de justification sur documents. Plusieurs notions abordées ici, comme la chiralité, la représentation de Cram, la RMN ou la hauteur d'une note, ne figurent plus au programme actuel de spécialité ; les autres questions restent un excellent entraînement.

Exercice 1 : l'ascenseur spatial (5 points)

L'exercice imagine un câble reliant le sol à un satellite géostationnaire placé à 36 000 km d'altitude, le long duquel monteraient des cabines. Un texte et un graphique donnant la vitesse orbitale V_O et la vitesse de libération V_L en fonction de l'altitude servent de supports.

Le satellite géostationnaire

Le satellite reste à la verticale du même point de l'équateur. Sa vitesse est nulle dans le référentiel terrestre, alors que dans le référentiel géocentrique il fait un tour en 24 h, à environ 3 km/s. La deuxième loi de Kepler, appliquée à une orbite circulaire de rayon constant, montre que le mouvement est uniforme : des aires égales correspondent à des arcs égaux. Le repère de Frenet et la deuxième loi de Newton donnent ensuite une accélération radiale et centripète, cohérente avec l'attraction de la Terre. Le calcul v = 2π(R_T + h)/T_Géo donne 3,1 × 10³ m/s, à condition de prendre R_T + h comme rayon et de convertir en mètres et en secondes.

La cabine et la libération

Sur le schéma, la vitesse ascensionnelle suit le câble et la vitesse orbitale lui est perpendiculaire. L'expression V_O(z) est affine et croissante, comme la droite du graphique. Une montée de 36 000 km en cinq jours correspond à environ 83 m/s, soit environ 23 fois moins que la vitesse orbitale à 20 000 km, qui vaut 1,9 km/s. Un satellite largué au-delà d'environ 46 000 km, intersection des deux courbes, s'échappe sans moteur. Depuis l'orbite géostationnaire, il faut fournir environ 7,3 × 10⁹ J à un satellite de 1,5 tonne pour passer de 3,1 km/s à 4,4 km/s.

Les pièges de l'exercice 1

Donner une vitesse sans préciser le référentiel, conclure qu'un mouvement uniforme a une accélération nulle, oublier R_T dans le rayon de l'orbite et calculer le carré de la différence des vitesses au lieu de la différence des carrés : ce sont les quatre erreurs les plus coûteuses.

Exercice 2 : autour de l'aspartame (10 points)

Ce long exercice suit la fabrication de l'aspartame à partir de deux acides aminés, la phénylalanine et l'acide aspartique. Il mobilise presque toute la chimie organique de l'ancien programme.

Partie 1 : les acides aminés

La phénylalanine porte un groupe carboxyle et un groupe amino. L'atome de carbone qui porte –NH₂ est asymétrique : la molécule est chirale et possède deux énantiomères, que l'on représente en Cram comme images l'un de l'autre dans un miroir. Le diagramme de prédominance se complète en retirant un ion H⁺ à chaque frontière : cation en dessous de pH 2,6, anion au-dessus de pH 9,2. Le spectre de RMN de l'acide aspartique se lit en croisant déplacement chimique, intégration et multiplicité : le triplet à 3,8 ppm correspond au proton du groupe CH, voisin des deux protons du groupe CH₂.

Partie 2 : l'estérification de la phénylalanine

Trois protocoles se comparent critère par critère. Les deux premiers ont des rendements de 96 % et 97 %, mais durent 12 h et 24 h avec des réactifs plus dangereux ; le troisième dure 4 h avec de l'acide sulfurique, seulement corrosif, pour un rendement de 67 %. Les précautions découlent des dangers du méthanol et de l'acide sulfurique : blouse, gants, lunettes, hotte, absence de flamme. La transformation est accélérée par le chauffage et par l'acide sulfurique, catalyseur. Comme elle est limitée, la tache de la phénylalanine ne disparaît jamais en CCM, ce qui empêche d'en repérer la fin. Le rendement se calcule en quatre étapes : la phénylalanine est limitante avec 0,100 mol, la masse maximale d'ester vaut 17,9 g, et le rendement atteint 63,7 %.

Le mécanisme

Les ions H⁺ sont apportés par l'acide sulfurique. Dans la liaison C=O, l'atome de carbone est accepteur de doublets, car l'oxygène est plus électronégatif. La flèche courbe de la première étape part du doublet non liant de l'oxygène et pointe vers H⁺.

Partie 3 : la synthèse de l'aspartame

La liaison formée entre un groupe carboxyle et un groupe amino est un groupe amide. Sans précaution, la synthèse n'est pas sélective : plusieurs groupes peuvent réagir et la CCM révèle plusieurs produits, comme un isomère de l'aspartame. La protection d'un groupe carboxyle et du groupe amino de l'acide aspartique, suivie d'une déprotection, rend la synthèse sélective. La spectroscopie IR n'est pas judicieuse pour vérifier l'obtention d'aspartame, car les bandes du groupe amide se superposent à celles de l'amine, de l'acide et de l'ester.

Les pièges de l'exercice 2

Entourer seulement C=O pour le groupe carboxyle, compter les protons liés à O ou à N parmi les voisins en RMN, attribuer l'accélération au reflux plutôt qu'au chauffage, diviser la masse obtenue par la masse de réactif, ou tracer la flèche courbe depuis H⁺ : chacune de ces erreurs coûte des points sur des questions pourtant accessibles.

Exercice 3 : le sauna (5 points, sans spécialité)

Un particulier installe un sauna dans une pièce de sa maison. La notice du constructeur et des données sur les matériaux servent de supports.

Transferts et aménagement

L'air est chauffé par convection, avec déplacement de matière, et les pierres par conduction, sans déplacement de matière. Les flèches de la notice représentent la circulation de l'air par convection. L'entrée d'air près du poêle chauffe et brasse aussitôt l'air frais, la sortie basse et éloignée oblige l'air à traverser toute la pièce. Le volume de la pièce, 12 m³, est bien compris entre les 8,0 m³ et 15,0 m³ prévus pour le poêle.

Isolation et énergie

À épaisseur, surface et écart de température identiques, le flux est proportionnel à la conductivité thermique : le sapin isole mieux que le béton. Pour isoler autant que 5,0 cm de sapin, il faudrait 58 cm de béton. Si toute la puissance du poêle de 10,00 kW chauffait les 20 kg de pierres de 25 °C à 250 °C, il suffirait de 4,4 × 10² s, environ 7 minutes. La notice annonce 40 à 70 minutes : l'hypothèse n'est pas vérifiée, car le poêle chauffe aussi l'air et les parois, avec des pertes vers l'extérieur.

Les pièges de l'exercice 3

Répondre « rayonnement » pour l'air, comparer les flux sans écrire l'hypothèse d'égalité des autres grandeurs, et laisser la puissance en kilowatts sont les erreurs classiques. Un écart de température a la même valeur en degrés Celsius et en kelvins.

Exercice 4 : la quête du grave (5 points, spécialité)

Un luthier cherche à fabriquer une octobasse, instrument de près de 4 m, capable de descendre plus bas que la contrebasse. L'exercice se termine par une résolution de problème.

La corde vibrante

Dans le mode fondamental, λ = 2L ; avec λ = v/f et v = √(T/μ), on obtient f = (1/2L)√(T/μ). Si la tension et la masse linéique restent celles de la corde mi₀ de la contrebasse, le produit f × L est constant et la corde du do_-1 devrait mesurer 2,65 m, au-delà des 2,18 m du cahier des charges. Un son plus grave demande une corde plus longue : un résultat inférieur à 1,05 m signale un rapport inversé.

La résolution de problème

Avec une corde de 2,18 m, la célérité doit descendre à 71,1 m/s contre 86,5 m/s pour la contrebasse : le rapport T/μ est multiplié par 0,675, d'où une corde moins tendue ou plus lourde par mètre. Pour jouer le ré_-1 sur la même corde, seule la longueur vibrante peut changer pendant le jeu : un doigt métallique la ramène à 1,94 m, en appuyant à 0,24 m de l'extrémité haute. Retendre la corde en jouant n'est pas envisageable. Le do_-1, à 16,3 Hz, est d'ailleurs sous la limite audible de 20 Hz.

Gestion du temps

En proportion des points, l'exercice 1 et l'exercice 3 ou 4 demandent chacun environ 50 minutes, et l'exercice 2 environ 1 h 40. Il reste une vingtaine de minutes pour lire le sujet et relire la copie. Commencer par l'exercice 2 peut être une bonne stratégie, car il vaut la moitié de la note et contient de nombreuses questions de cours indépendantes : groupes caractéristiques, catalyseur, groupe amide, déprotection. Dans l'exercice 1, les questions 1.1 à 1.3 se traitent sans calcul et rapportent vite. Dans l'exercice 4, gardez du temps pour la résolution de problème, qui demande une rédaction structurée. Ne restez jamais bloqué : la plupart des questions se traitent à partir des documents, même si une réponse précédente manque.

Conclusion

Ce sujet de rattrapage couvre un large éventail de l'ancien programme de Terminale S et récompense la rigueur plus que la virtuosité calculatoire. Préciser le référentiel, convertir les unités, justifier chaque attribution de signal, écrire les hypothèses d'une comparaison et confronter chaque résultat aux documents : ces réflexes font la différence. Travaillez chaque exercice en temps limité, puis comparez votre copie au corrigé détaillé question par question pour repérer vos erreurs de méthode.