Du dipôle RC à l'oscillateur LC

L'exercice 3 du bac S Liban 2005, noté sur 5 points (environ 1 h 05 conseillée), se compose de deux parties indépendantes. La première étudie la charge d'un condensateur à travers un conducteur ohmique, observée à l'oscilloscope ; la seconde décharge ce condensateur dans une bobine pour obtenir des oscillations électriques libres. La calculatrice est interdite, mais les valeurs sont choisies pour des calculs simples.

Partie A : charge d'un condensateur

Brancher l'oscilloscope

Il faut placer le conducteur ohmique entre la voie A et la voie B, et le condensateur entre la voie B et la masse. La voie A affiche alors la tension aux bornes du générateur et la voie B celle du condensateur. Inverser les deux dipôles ferait afficher la tension du conducteur ohmique au lieu de u_C.

Identifier les courbes et lire E

À la fermeture de l'interrupteur, la tension du générateur passe instantanément de 0 à E : c'est la courbe 2, donc la voie A. La tension aux bornes du condensateur, elle, ne peut pas varier brutalement : elle croît progressivement, c'est la courbe 1. L'échelon mesure 2,5 divisions avec une sensibilité de 2 V/div, d'où E = 5 V.

La constante de temps

Le corrigé montre par analyse dimensionnelle que τ = RC a la dimension d'un temps, en combinant la loi d'Ohm et la relation q = Cu avec i = dq/dt. Pour la mesure, on cherche la date où u_C atteint 63 % de E, soit environ 3,2 V : on la lit une division après le début de la charge, donc τ ≈ 0,5 ms. La charge est pratiquement terminée cinq divisions plus tard, ce qui correspond bien à 5τ.

Partie B : le circuit LC

L'équation différentielle

Avec la loi des mailles, u_C + u_L = 0, et les relations de la bobine idéale et du condensateur en convention récepteur, on obtient d²u_C/dt² + u_C/(LC) = 0. Une erreur d'orientation des flèches fait apparaître un signe moins et rend l'équation fausse.

Allure des oscillations et nouvelle période

La résistance étant négligeable, u_C oscille de façon sinusoïdale entre +5,0 V et –5,0 V avec la période T₀ = 4,0 ms ; la courbe part de 5,0 V avec une tangente horizontale. En remplaçant C par 4C, la période propre double : T₀' = 2T₀, car la capacité est sous la racine.

Énergies et amortissement

Le condensateur stocke ½Cu_C², la bobine ½Li². À t = 0, le courant est nul, donc l'énergie de la bobine est nulle ; celle du condensateur s'annule pour la première fois au quart de période, à 1,0 ms. En réalité, la résistance du circuit dissipe de l'énergie par effet Joule : l'énergie totale diminue, l'amplitude décroît et le régime est pseudo-périodique.

Conseils

Lisez les oscillogrammes en divisions avant de convertir, justifiez toujours l'identification des voies par la continuité de la tension aux bornes du condensateur, et orientez clairement le circuit avant d'écrire une équation différentielle.