Les ondes et le condensateur au service d'un passe sans contact

Cet exercice de 5,5 points du bac S 2008 Nouvelle-Calédonie (rattrapage, ancien programme) s'appuie sur un texte de vulgarisation consacré à l'identification par radiofréquences, la technologie des passes de transport. Il comporte deux parties indépendantes : la communication entre le lecteur et l'étiquette, puis l'étude d'un modèle électrique du temps de réponse de l'étiquette. C'est un sujet idéal pour réviser à la fois les ondes et le circuit RC.

Partie 1 : la communication par ondes radio

Le texte annonce une fréquence de 13,56 MHz. Convertie en hertz, elle vaut 1,356 × 10⁷ Hz, valeur inférieure à la limite de 3 × 10⁷ Hz lue sur le document : il s'agit bien d'ondes radio. La longueur d'onde dans l'air, assimilé au vide, se calcule par λ = c/f et vaut 22,1 m. Le piège est de garder la fréquence en mégahertz. Viennent ensuite des questions de cours : une onde mécanique a besoin d'un milieu matériel, contrairement à une onde électromagnétique, donc seule la proposition c est correcte. Le son dans l'air est une onde longitudinale, et il faut définir ce terme pour obtenir tous les points. Enfin, l'onde radio transfère de l'énergie à l'étiquette, sans transport de matière, ce qui lui permet de fonctionner sans pile.

Partie 2 : le temps de réponse du modèle

Le circuit comporte un générateur de tension E, une résistance R = 1,0 MΩ et un condensateur de capacité C. Il faut d'abord compléter le schéma : sens du courant, charges des armatures et flèches des tensions en convention récepteur. Les relations i = dq/dt et q = Cu_C, associées à la loi des mailles et à la loi d'Ohm, donnent l'équation différentielle u_C + RC du_C/dt = E. On vérifie ensuite que u_C(t) = E(1 - e^-t/RC) en est solution, en soignant le signe de la dérivée.

La suite est graphique. Pour une charge très longue, u_C tend vers E, et l'asymptote de la courbe donne E = 7,0 V. L'analyse dimensionnelle montre que τ = RC s'exprime en secondes. Le calcul u_C(τ) = E(1 - e^-1) = 0,63 E = 4,4 V permet de lire τ = 5 s, d'où C = τ/R = 5 µF. Enfin, à la date 2τ = 10 s, on lit la tension seuil U_S = 6,0 V : le condensateur n'est chargé qu'à 86 %. Un temps de réponse de 10 s n'est pas vraisemblable pour un usager pressé devant un portillon.

Conseils pour réussir

Trace toujours la construction graphique sur la figure demandée, car elle est notée. Dans la dernière question, trois réponses distinctes sont attendues : une lecture, une comparaison à E et un avis argumenté. Le corrigé reprend la figure complétée et signale les erreurs de signe et de conversion les plus fréquentes.