Mécanique céleste et propulsion : un exercice classique

L'exercice 2 du Bac S Amérique du Nord 2013, noté sur 6,5 points et prévu pour environ une heure, se partage en deux temps. La première partie étudie le mouvement de la Station spatiale internationale autour de la Terre, la seconde le décollage d'une fusée par propulsion par réaction. On y retrouve la démarche type de la mécanique de terminale : système, référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton, puis exploitation numérique.

Partie 1 : la station en orbite

Force gravitationnelle et accélération

Le schéma doit montrer la force appliquée en S, dirigée vers le centre de la Terre. Avec un vecteur unitaire orienté de S vers T, l'expression s'écrit F = G·mM/(R+h)² u, sans signe moins. La deuxième loi de Newton, appliquée à la station dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, donne une accélération a = GM/(R+h)² u, indépendante de la masse de la station et centripète. Annoncer le système, le référentiel et la force fait partie des points attendus.

Vitesse sur une orbite circulaire

Dans le repère de Frenet, l'identification des composantes fournit deux résultats : la composante tangentielle nulle montre que le mouvement est uniforme, la composante normale donne v = √(GM/(R+h)). Le piège classique est de prendre h comme rayon : la station tourne autour du centre de la Terre, le rayon vaut R + h = 6,78 × 10⁶ m. Avec les distances en mètres, on obtient v = 7,67 × 10³ m·s^-1.

Nombre de révolutions par jour

La période se calcule avec T = 2π(R+h)/v = 5,55 × 10³ s, soit environ 1 h 33 min. En 24 h, c'est-à-dire 86 400 s, l'astronaute effectue environ 15,6 révolutions. Il faut exprimer les deux durées dans la même unité avant de diviser.

Partie 2 : le décollage de la fusée

Conservation de la quantité de mouvement

En supposant le système {fusée + gaz} isolé, sa quantité de mouvement, nulle au départ, se conserve. On en déduit v_f = -(m_g/m_f) v_g : le signe moins traduit la propulsion par réaction, la fusée partant dans le sens opposé aux gaz. Cette notion appartenait à l'ancien programme de terminale S. Ne pas oublier de répondre à la seconde partie de la question, sur la conséquence pour le mouvement.

Masse négligeable et vitesse théorique

En une seconde, la fusée éjecte 2,9 × 10³ kg de gaz, soit un rapport de 3,7 × 10^-3 à sa masse : la variation est négligeable. La vitesse théorique au bout d'une seconde vaut alors 15 m·s^-1. Attention à convertir les tonnes en kilogrammes et les km·s^-1 en m·s^-1.

Le poids oublié et la poussée

La vitesse réelle est plus faible, car le système n'est pas isolé : son poids ne pouvait pas être négligé. Une analyse dimensionnelle montre que le produit D·v_g s'exprime en kg·m·s^-2, donc en newtons. La comparaison finale, poussée de 1,2 × 10⁷ N contre poids de 7,6 × 10⁶ N, confirme que la fusée peut décoller.

Conseils pour cet exercice

Travaille systématiquement en unités du système international, garde le nombre de chiffres significatifs des données et rédige chaque étape de la démonstration de la vitesse orbitale : c'est une question de cours très fréquente. Le corrigé détaillé reprend toutes les étapes avec les calculs et les pièges à éviter.