Un oscillateur mécanique étudié à partir d'un pointage

Ce premier exercice de 5 points, prévu pour environ 1 h 05, ouvre l'épreuve du bac S 2009 de La Réunion. Un mobile autoporteur de masse 0,714 kg, relié à deux ressorts, glisse sans frottement sur une table horizontale. Les élèves le filment, pointent les positions de son centre d'inertie toutes les 80 ms, puis modélisent la courbe obtenue. L'exercice enchaîne trois approches complémentaires de la même raideur : la deuxième loi de Newton, la période propre et l'énergie mécanique.

Exploiter le tableau de pointage

La vitesse à la date t₁₉ s'obtient comme vitesse moyenne entre les positions qui l'encadrent : on trouve 0,39 m.s^-1. Le piège classique consiste à oublier que l'abscisse x_G18 est négative, ce qui fausse le déplacement, ou à diviser par une seule durée τ au lieu de 2τ. L'accélération à la date t₁₈ se calcule ensuite à partir des vitesses aux dates t₁₇ et t₁₉, colinéaires et de même sens : on retrouve bien 0,50 m.s^-2.

Forces et deuxième loi de Newton

Sur la figure de l'annexe, le ressort est comprimé : le mobile subit son poids, la réaction normale de la table et une force de rappel horizontale dirigée vers la droite, vers la position d'équilibre. Pour choisir entre les deux expressions vectorielles proposées, le corrigé teste un cas simple : avec x_G négatif, la force doit avoir une coordonnée positive, d'où F = -K x_G i. La projection de la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal donne -K x = m a_x, puis une première estimation K = 7,8 N.m^-1 à partir des valeurs à la date t₁₈. Une raideur négative signalerait une erreur de signe.

Période propre et analyse dimensionnelle

Après avoir nommé l'amplitude X_m et la phase à l'origine φ₀, il faut choisir l'expression de la période propre. L'analyse dimensionnelle de K, exprimée en M.T^-2, élimine deux propositions et ne laisse que T₀ = 2π√(m/K). La période mesurée de 1,88 s fournit une deuxième estimation, K = 7,98 N.m^-1, plus fiable car elle ne repose pas sur une accélération obtenue par différence de vitesses.

Modélisation et énergie mécanique

La modélisation x_G(t) = 0,120 cos(3,34 t - 0,488) permet de vérifier l'abscisse initiale de 10,6 cm, à condition de régler la calculatrice en radians. En dérivant, on obtient la vitesse V_G(t) = -0,401 sin(3,34 t - 0,488), puis une vitesse initiale de 0,188 m.s^-1 : positive, elle indique un lancement vers la droite. L'énergie mécanique s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle élastique ; à partir de la valeur donnée à la date t₁₇, on retrouve K = 8,1 N.m^-1, cohérent avec les deux estimations précédentes. Enfin, l'amplitude constante des oscillations montre que l'énergie mécanique se conserve.

Conseils pour réussir

Gardez les signes des abscisses tout au long des calculs, vérifiez chaque résultat par un ordre de grandeur et comparez les trois valeurs de K : leur accord est le meilleur contrôle de votre travail. Pensez aussi à justifier l'absence d'énergie potentielle de pesanteur, le mouvement étant horizontal.