Un oscillateur masse-ressort sans frottement

Ce troisième exercice du bac S La Réunion 2008, noté sur 4 points (environ 52 minutes), porte sur un pendule élastique horizontal : un solide de masse 100 g, accroché à un ressort de raideur 40 N·m⁻¹, est écarté de 5,0 cm de sa position d'équilibre puis lâché sans vitesse. Les frottements sont négligés. L'oscillateur masse-ressort ne figure plus au programme actuel de spécialité, mais l'exercice mobilise des outils toujours utiles : bilan des forces, dérivation, période, énergie mécanique et lecture d'un enregistrement. L'énoncé exige toutes les valeurs dans les unités du Système international.

Question 1 : le bilan des forces

Juste après le lâcher, le solide subit trois forces : son poids, vertical vers le bas, la réaction du support, verticale vers le haut, et la force de rappel du ressort, horizontale et dirigée vers la position d'équilibre. Le poids et la réaction valent 1,0 N chacun, soit des flèches de 2,0 cm à l'échelle imposée ; la force de rappel vaut F = K X = 2,0 N, soit 4,0 cm. Le piège est de garder la masse en grammes ou l'écart en centimètres.

Question 2 : l'équation différentielle

On dérive deux fois X(t) = X_m cos(2πt/T₀) : le facteur 2π/T₀ sort à chaque dérivation et apparaît au carré dans l'accélération. En reportant dans l'équation, l'égalité doit être vraie à chaque instant, ce qui impose T₀ = 2π√(m/K). Les conditions initiales donnent ensuite l'amplitude : à t = 0, X(0) = X_m = 5,0 × 10⁻² m.

Question 3 : la période propre

Avec m = 0,100 kg et K = 40 N·m⁻¹, on obtient T₀ = 0,31 s. Sur l'enregistrement, la courbe part d'un maximum à t = 0 et atteint son quatrième maximum vers 0,94 s : trois périodes, soit T₀ ≈ 0,31 s. Mesurer plusieurs périodes puis diviser rend la lecture plus précise. Une valeur de 9,9 s, obtenue avec la masse en grammes, devrait alerter : on voit trois oscillations en moins d'une seconde.

Question 4 : énergie mécanique et vitesse

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique ½ m v² et de l'énergie potentielle élastique ½ K X² ; le mouvement étant horizontal, l'énergie potentielle de pesanteur ne varie pas. À l'instant initial, la vitesse est nulle et E_m = ½ K X_m² = 5,0 × 10⁻² J. Les frottements étant négligés, cette énergie se conserve : au passage par la position d'équilibre, elle est entièrement cinétique, d'où v = 1,0 m·s⁻¹, la vitesse maximale.

Question 5 : deux ressorts au lieu d'un

Tenu des deux côtés par des ressorts tendus, le mobile reste guidé sur l'axe : le mouvement est rectiligne. Sur la figure 5, le troisième maximum est atteint vers 0,73 s, soit deux périodes et T₀ = 0,365 s. On en déduit une raideur équivalente d'environ 30 N·m⁻¹, égale à K₁ + K₂ = 10 + 20 N·m⁻¹. La période étant au carré dans la formule, une petite erreur de lecture se répercute sur K_eq : deux chiffres significatifs suffisent.

Question 6 : peser en impesanteur

Une balance ne sert à rien en impesanteur, mais la période d'un pendule élastique ne dépend pas de g. On fixe l'objet à un ressort de raideur connue, on chronomètre plusieurs oscillations et l'on calcule m = K T₀²/(4π²).

Conseils

Convertissez toutes les données en unités S.I. avant le premier calcul et contrôlez chaque résultat avec l'enregistrement : c'est le meilleur moyen de repérer une erreur d'unité.