Une pile qui charge un condensateur

Ce deuxième exercice du bac S La Réunion 2008 pèse 8 points, soit environ 1 h 44 conseillée : c'est le plus long de l'épreuve. Une pile zinc-argent, de force électromotrice 1,5 V, charge un condensateur de 10 µF à travers un conducteur ohmique de 1,0 MΩ. Dès que la tension du condensateur atteint 1,2 V, un système d'utilisation le décharge instantanément, puis le cycle recommence. La partie A étudie la charge, la partie B la chimie de la pile ; elles sont indépendantes.

Partie A : étude électrique

Questions 1 à 3 : conventions et équation différentielle

En convention récepteur, chaque flèche-tension est opposée au sens du courant : la flèche de u_R pointe vers la gauche, celle de u_C vers l'armature supérieure. La loi des mailles, la loi d'Ohm et la relation i = C du_C/dt donnent RC du_C/dt + u_C = E. Sans le système S, la charge irait à son terme et u_C atteindrait E = 1,5 V.

Question 4 : la constante de temps

La constante de temps du dipôle RC vaut τ = RC. L'analyse dimensionnelle, à partir de la loi d'Ohm et de la relation du condensateur, montre qu'elle s'exprime en secondes. Le calcul donne τ = 10 s, à condition de convertir les mégaohms en ohms et les microfarads en farads. Graphiquement, on cherche la date où u_C vaut 63 % de E, soit 0,95 V : la lecture confirme τ ≈ 10 s. Le piège est de prendre 63 % de 1,2 V, la tension maximale lue sur la courbe, alors que la charge est interrompue avant son terme.

Question 5 : durée de charge et fréquence

En isolant l'exponentielle puis en prenant le logarithme népérien, on obtient t = τ ln(E/(E − u_C)). Pour u_C = 1,2 V, t_f = 16 s, en accord avec la courbe. La décharge étant instantanée, la période vaut t_f et la fréquence f = 6,2 × 10⁻² Hz. À la calculatrice, les parenthèses autour de 1,5 − 1,2 sont indispensables.

Questions 6 et 7 : intensité et énergie

En dérivant u_C, on trouve i = (E/R) e^−t/τ, soit 1,5 µA au début de la charge et 0,30 µA à la date t_f. L'énergie stockée vaut ½ C u_C², soit 7,2 µJ à la date t_f : il faut utiliser 1,2 V et non 1,5 V. La pile ayant fourni 18 µJ par cycle, la différence, environ 11 µJ, a été dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique.

Partie B : étude chimique de la pile

Questions 8 et 9 : solutions et demi-équations

Le nitrate de zinc libère deux ions nitrate par ion zinc, d'où [NO₃⁻] = 0,200 mol·L⁻¹ dans la demi-pile au zinc ; le nitrate d'argent donne des concentrations de 0,100 mol·L⁻¹ pour ses deux ions. Pour écrire la réaction où l'argent métal est réactif, on multiplie la demi-équation de l'argent par 2 afin d'éliminer les électrons.

Question 10 : sens d'évolution et polarités

Le quotient de réaction initial vaut Q_r,i = [Ag⁺]²/[Zn²⁺] = 0,100, très supérieur à K = 10⁻⁵² : le système évolue dans le sens inverse, c'est-à-dire que le zinc réduit les ions argent. Le zinc, qui cède des électrons, est le pôle négatif ; l'électrode d'argent, où les ions Ag⁺ sont réduits, est le pôle positif. Le pont salin assure l'électroneutralité des solutions et ferme le circuit.

Question 11 : le schéma de la pile

Le schéma attendu montre les électrons allant du zinc vers l'argent dans le circuit extérieur, le courant en sens inverse, et dans les solutions les cations allant vers l'argent et les anions vers le zinc. Rappelez-vous que les électrons ne traversent jamais les solutions.

Conseils

Soignez les conventions et les unités dès le début : une flèche mal orientée ou une conversion oubliée fausse toute la suite de la partie A.