Mise en orbite d'un satellite par la fusée Ariane

Cet exercice de 6 points du Bac S 2003 Inde (Pondichéry) suit une fusée Ariane de son décollage jusqu'à la mise en orbite basse d'un satellite. La première partie étudie l'ascension verticale de la fusée avec la deuxième loi de Newton ; la seconde porte sur le mouvement circulaire d'un satellite à 200 km d'altitude. C'est un exercice de mécanique très représentatif, qui mobilise des méthodes toujours au programme de la spécialité physique-chimie.

Partie 1 : l'ascension de la fusée

Question 1.a : le bilan des forces

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, en négligeant frottements et poussée d'Archimède, la fusée est soumise à son poids, vertical vers le bas, et à la force de poussée des moteurs, verticale vers le haut. Le schéma doit montrer une poussée plus grande que le poids : au décollage, le poids vaut environ 2,0 × 10³ kN, contre 2445 kN pour la poussée.

Questions 1.b et 1.c : l'accélération

La projection de la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le haut donne a = F/m − g₀. Au décollage, avec une masse de 208 t, l'accélération vaut 2,0 m/s². Juste avant l'épuisement du peroxyde d'azote, la masse n'est plus que de 60,5 t et l'accélération atteint 30,6 m/s². L'accélération n'est pas constante : le mouvement est accéléré, mais pas uniformément. Oublier de retrancher g₀ revient à ignorer le poids.

Question 1.d : la vitesse d'éjection des gaz

Une analyse dimensionnelle montre que la relation proposée est bien homogène à une vitesse. Pendant les 145 s de fonctionnement, 147,5 t de peroxyde sont consommées, ce qui donne une vitesse d'éjection de 2,40 × 10³ m/s. Comme la masse de la fusée diminue, le rapport Δt/Δm est négatif : la vitesse d'éjection est opposée à la poussée, donc dirigée vers le bas. Le principe des actions réciproques explique la propulsion : la fusée pousse les gaz vers le bas, les gaz poussent la fusée vers le haut. Ce mécanisme ne nécessite ni air ni sol, il fonctionne aussi dans le vide.

Partie 2 : le satellite en orbite basse

Questions 2.a et 2.b : accélération et gravitation

Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est radiale, centripète et de valeur v²/r. Elle n'est pas nulle, car la direction de la vitesse change. La loi de la gravitation universelle décrit ensuite deux forces attractives, de même valeur et de sens opposés, que le schéma doit représenter avec la même longueur.

Question 2.c : l'expression de g(h)

En identifiant la force de gravitation au poids du satellite, on obtient g(h) = G M_T / (R_T + h)². Au sol, g₀ = G M_T / R_T², ce qui permet de remplacer G M_T par g₀ R_T², une astuce très utile dans tous les problèmes de satellites.

Questions 2.d et 2.e : vitesse et période

Dans le référentiel géocentrique, la deuxième loi de Newton donne une accélération égale à g(h). En l'égalant à v²/(R_T + h), on trouve l'expression de la vitesse, puis celle de la période. Numériquement, avec R_T = 6400 km et h = 200 km, le satellite tourne à 7,8 km/s et fait le tour de la Terre en 5,3 × 10³ s, soit environ 1 h 29 min. La masse du satellite se simplifie : ces valeurs ne dépendent que de l'altitude.

Les pièges à éviter

Les erreurs classiques sont le choix du référentiel, terrestre pour la fusée mais géocentrique pour le satellite, et la conversion des distances en mètres avant tout calcul. Il faut aussi distinguer l'altitude h de la distance au centre de la Terre, R_T + h.

Conseils pour réussir

Rédige toujours dans le même ordre : système, référentiel, bilan des forces, loi appliquée, projection. Le corrigé détaillé reprend chaque question sous forme de copie modèle, avec les écrans de calculatrice et les remarques sur les pièges.