Un séisme, des ondes et un oscillateur : l'exercice 1 du Bac S 2003 Centres étrangers

Cet exercice de 9,5 points occupe près de la moitié de l'épreuve et mérite environ 1 h 57 de travail. Il part d'un fait réel, le séisme de San Francisco de 1989, et suit un raisonnement en deux temps. La partie A étudie la propagation des ondes sismiques à partir d'un sismogramme enregistré à la station Eureka. La partie B modélise l'effet d'une onde longitudinale sur une structure par un oscillateur masse-ressort horizontal, d'abord libre, puis soumis à des oscillations forcées. Les deux parties sont indépendantes, ce qui permet de ne pas rester bloqué.

Partie A : lire un sismogramme

Les premières questions sont des définitions : une onde transversale est une onde dont la perturbation est perpendiculaire à la direction de propagation. Le schéma A, où les tranches de matériau se resserrent dans la direction de propagation, correspond aux ondes P longitudinales ; le schéma B aux ondes S transversales. Comme les ondes P sont les plus rapides, le train A du sismogramme correspond aux ondes P et le train B aux ondes S.

Le calcul de l'heure du séisme demande de l'attention. Le train A débute à 40 s ; le séisme a donc eu lieu 40 s avant la détection de 8 h 15 min 20 s, soit à 8 h 14 min 40 s TU. L'erreur classique consiste à ajouter les 40 s au lieu de les retrancher. La distance de l'épicentre s'obtient ensuite avec la célérité des ondes P : d = 10 × 40 = 4,0 × 10² km. Pour la célérité des ondes S, on divise cette distance par leur durée de trajet totale, 66 s, ce qui donne environ 6,1 km/s. Diviser par le seul retard entre les deux trains est un piège fréquent.

Partie B : l'oscillateur libre

Au repos, le solide est soumis à son poids et à la réaction du support, qui se compensent. Écarté de sa position d'équilibre, il subit en plus la force de rappel du ressort, toujours dirigée vers O. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe horizontal donne l'équation différentielle d²x/dt² + (k/m)x = 0, dont la période propre vaut T0 = 2π√(m/k). Avec m = 0,250 kg et k = 10 N/m, on trouve 0,99 s, en accord avec la lecture d'environ 1 s. Il faut bien convertir la masse en kilogrammes.

La lecture des graphes 1 à 5 conduit à trois conclusions : la période ne dépend pas des conditions initiales ; l'amplitude dépend de la vitesse initiale et de l'élongation initiale ; la période dépend de la masse et de la raideur, avec 0,44 s pour m = 50 g et 1,2 s pour k = 7 N/m.

Oscillations forcées et résonance

Avec un excitateur de période 0,60 s, l'oscillateur prend la période de l'excitateur et non sa période propre. Le graphe 7 le confirme : T = TE en chaque point. Le graphe 8 met en évidence la résonance, avec un maximum d'environ 12,5 cm pour TR = 1,0 s, proche de la période propre. La dernière partie relie ces résultats au séisme : l'excitation est maximale si l'onde se propage selon l'axe du ressort, et l'amplitude devient très grande lorsque la période de l'onde sismique est proche de la période propre de la structure.

Conseils

Soignez les schémas de forces, vérifiez chaque calcul de période avec les graphes et rédigez les conclusions en une phrase claire. L'oscillateur masse-ressort ne figure plus au programme actuel de spécialité, mais la démarche (bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection) reste un entraînement très utile.