SPOT 4 : un satellite et ses batteries

Cet exercice de 7 points, le plus long du bac S 2009 d'Asie (environ 1 h 31), se fait sans calculatrice. Il réunit deux parties indépendantes. La première étudie le mouvement du satellite d'observation SPOT 4, placé sur une orbite polaire circulaire à h = 830 km d'altitude, avec une période de révolution de 101 minutes. La seconde s'intéresse aux accumulateurs nickel-cadmium qui alimentent le satellite pendant la traversée de l'ombre de la Terre.

Partie I : référentiel, force et deuxième loi de Newton

Le mouvement est étudié dans le référentiel géocentrique, dont l'origine est le centre de la Terre et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines. Dans ce référentiel, un point de la surface terrestre décrit un cercle autour de l'axe des pôles en 24 h environ. La force de gravitation s'écrit F = −G m M_T / (R_T + h)² u, avec un signe moins car le vecteur unitaire u est dirigé de O vers C. Le piège est d'oublier ce signe ou de prendre h seul au lieu de R_T + h. Pour appliquer la deuxième loi de Newton, le référentiel doit être galiléen ; le géocentrique peut être considéré comme tel sur une durée courte devant la révolution de la Terre autour du Soleil. Le vecteur accélération, égal à F/m, est donc dirigé de C vers O : le corrigé le trace sur l'annexe 1.

Mouvement circulaire uniforme et masse de la Terre

En mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et de valeur constante v²/r. La vitesse s'obtient par v = 2π(R_T + h)/T, d'où a = 4π²(R_T + h)/T². En égalant cette expression à G M_T/(R_T + h)², on isole M_T = 4π²(R_T + h)³/(G T²). Avec les aides au calcul de l'énoncé et des grandeurs converties en unités SI, on trouve M_T ≈ 6 × 10²⁴ kg, avec un seul chiffre significatif comme demandé. Enfin, SPOT 4 n'est pas géostationnaire : son orbite est polaire et sa période vaut 101 minutes, pas 24 h.

Partie II : l'accumulateur nickel-cadmium en charge

Pendant la charge, du cadmium solide se forme : la demi-équation du cadmium a lieu dans le sens de la réduction et celle du nickel dans le sens de l'oxydation. Après avoir multiplié la seconde par 2, l'équation de charge est Cd(OH)₂ + 2 Ni(OH)₂ → Cd + 2 NiO(OH) + 2 H₂O. Dans les fils, les électrons vont de l'électrode de nickel vers celle de cadmium en traversant le générateur, dont la borne négative est reliée au cadmium. La réduction a lieu à l'électrode de cadmium, la cathode. Le nickel métallique n'intervient dans aucune demi-équation : sa masse reste constante. Dans la solution, les ions K⁺ migrent vers l'électrode de cadmium et les ions HO^- vers l'électrode de nickel.

Charge et durée de charge

Une batterie de 40 ampères-heures stocke Q = 40 × 3600 = 1,4 × 10⁵ C. Avec un courant constant de 10 A, la durée minimale théorique de charge est 4,0 h, soit 1,4 × 10⁴ s.

Conseils

Convertis toujours h en mètres et T en secondes avant de calculer. Pour l'électrochimie, raisonne à partir des demi-équations : elles disent où se produit la réduction et donc où arrivent les électrons. Pendant la charge, l'accumulateur fonctionne en récepteur : le générateur lui impose une transformation forcée, inverse de celle de la décharge.