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Satellites et lois de Kepler
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Tatooine et mouvement circulaire - Bac S Métropole 2016 (ancien programme) - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2016
Bac S (ancien programme)
🪐 Un exercice de 5 points sur la planète aux deux soleils : estimer la taille et la masse des étoiles, puis étudier le mouvement de Tatooine. Le sujet officiel et son corrigé détaillé sont gratuits, en PDF.
- Partie 1 : rayon des étoiles mesuré sur une photo, masse déduite de la masse volumique du Soleil.
- Partie 2 : force gravitationnelle, deuxième loi de Newton, repère de Frenet, mouvement uniforme et période de révolution.
Chaque question est corrigée pas à pas, avec la démonstration type des orbites circulaires et les pièges d'unités.
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Coucher de soleils sur Tatooine : gravitation et mouvement circulaire
Le troisième exercice du bac S 2016 Métropole, noté sur 5 points et prévu pour environ cinquante minutes, s'appuie sur la célèbre planète aux deux soleils. À partir d'une photographie et d'un texte, il faut estimer la taille et la masse des étoiles, puis étudier le mouvement de la planète avec la deuxième loi de Newton et le repère de Frenet. C'est un exercice classique de mécanique céleste, avec une part d'estimation qui demande de justifier sa démarche.
Partie 1 : la taille et la masse des étoiles
En 1.1, les deux étoiles sont à la même distance de Tatooine : sur la photo, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles. On mesure le diamètre d'une étoile, environ 7 mm, et la distance entre les centres, environ 18 mm, qui représente 10 millions de kilomètres d'après le texte. Par proportionnalité, on obtient un rayon d'environ 1,9 million de kilomètres. Les pièges : mesurer de bord à bord au lieu de centre à centre, et oublier de diviser le diamètre par deux.
En 1.2, on suppose que les étoiles ont la même masse volumique que le Soleil. L'égalité des masses volumiques donne MTatoo = MS(R/RS)3, soit environ 4,7 × 1031 kg. Le facteur 4π/3 se simplifie et il suffit que les deux rayons aient la même unité. L'oubli du cube est l'erreur la plus fréquente : un rayon environ trois fois plus grand donne une masse environ 23 fois plus grande. Le commentaire attendu porte sur cette valeur, qui rend discutable l'hypothèse d'une même masse volumique.
Partie 2 : le mouvement de Tatooine
En 2.1, Tatooine est 20 fois plus loin de ses étoiles que celles-ci ne le sont l'une de l'autre. Vues de la planète, elles se comportent comme un astre unique de masse 2 MTatoo ≈ 9,3 × 1031 kg, proche de la valeur 9,5 × 1031 kg retenue par l'énoncé. En 2.2, le schéma doit montrer la force gravitationnelle et l'accélération toutes deux dirigées vers le centre de Tatoo 1-2 : l'accélération n'est pas tangente à la trajectoire.
La question 2.3 est une démonstration incontournable. On écrit la deuxième loi de Newton, on exprime l'accélération dans le repère de Frenet, puis on identifie les composantes : la composante tangentielle nulle impose dv/dt = 0, donc un mouvement uniforme. Dire que l'accélération est constante serait faux, puisque sa direction change.
En 2.4, l'identification selon la normale donne v = √(GM12/r), puis T = 2π√(r3/(GM12)). Avec r = 2,0 × 1011 m, on trouve T ≈ 7,1 × 106 s, soit environ 82 jours : l'année de Tatooine est environ 4,5 fois plus courte que l'année terrestre. Le piège majeur est de laisser r en kilomètres alors que G est en unités SI.
Conseils pour réussir
Apprenez la démarche en trois temps des orbites circulaires : deuxième loi de Newton, accélération dans le repère de Frenet, identification. Elle sert à prouver le caractère uniforme du mouvement et à exprimer la vitesse puis la période. Dans les questions d'estimation, expliquez chaque mesure et gardez un nombre de chiffres significatifs adapté à la précision de la lecture.