Le dioxyde de carbone, de l'effet de serre à la datation au carbone 14

L'exercice 2 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2007 est le plus long de l'épreuve : 9,5 points, soit environ 1 h 57 conseillée. Il relie trois chapitres autour d'une même molécule, le dioxyde de carbone : la mécanique d'un oscillateur, les ondes électromagnétiques et la radioactivité. Les trois parties sont indépendantes, ce qui permet de ne pas rester bloqué.

Partie 1 : vibration d'une molécule de dioxyde de carbone

Force de rappel et équation différentielle

La molécule est modélisée par un atome d'oxygène relié à un support fixe par un ressort. Le poids est négligé et il n'y a pas de frottement : la seule force est la force de rappel, proportionnelle à l'allongement et de sens opposé, notée F = −k x i. Le piège classique est d'oublier le signe moins. La deuxième loi de Newton, projetée sur l'axe, conduit à l'équation différentielle de l'oscillateur harmonique.

Période propre et fréquence

En dérivant deux fois la solution proposée et en la reportant dans l'équation, on obtient la période propre T₀ = 2π √(m/k). Attention à bien dériver le cosinus en multipliant par 2π/T₀, facteur qui apparaît au carré dans la dérivée seconde. L'application numérique donne une fréquence propre de 2,00 × 10¹³ Hz, avec trois chiffres significatifs comme les données.

Partie 2 : dioxyde de carbone et effet de serre

Le spectre visible et ses voisins

Le visible s'étend d'environ 400 nm (violet) à 800 nm (rouge), soit de 0,400 µm à 0,800 µm. En deçà se trouve l'ultraviolet, au-delà l'infrarouge : il ne faut pas inverser les deux domaines.

Longueur d'onde absorbée

La relation λ₀ = c/f donne une longueur d'onde de 15,0 µm, qui appartient au domaine infrarouge. Or la Terre réémet l'énergie reçue essentiellement dans l'infrarouge : le dioxyde de carbone absorbe donc une partie de ce rayonnement, qui reste piégé dans l'atmosphère au lieu de repartir vers l'espace. C'est le mécanisme de l'effet de serre.

Partie 3 : des pingouins à Marseille

Lois de conservation et désintégration

La conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge montre que la particule X est un proton. Le corrigé rappelle les quatre types d'émissions, puis écrit la désintégration bêta moins du carbone 14, qui redonne de l'azote 14.

Datation des peintures de la grotte

Après la définition de la demi-vie, on montre que la constante radioactive a la dimension de l'inverse d'un temps et s'exprime ici en an⁻¹. Le rapport N(t)/N₀ vaut 0,0920 ; la loi de décroissance donne alors un âge d'environ 1,85 × 10⁴ ans, soit environ 18 500 ans. Un contrôle rapide est proposé : 0,0920 est compris entre 1/8 et 1/16, donc l'âge est situé entre trois et quatre demi-vies. La dernière question demande d'interpréter la présence d'animaux des régions froides : un climat beaucoup plus froid, un niveau de la mer plus bas et une entrée de grotte alors à l'air libre.

Conseils pour réussir

Gérez votre temps : cet exercice pèse presque la moitié de la note. Vérifiez les signes, les puissances de dix et les unités, et appuyez-vous sur l'indépendance des parties pour avancer sans vous bloquer.