Une balle qui tombe dans l'huile

L'exercice 4 du bac S Antilles-Guyane de rattrapage 2004 (ancien programme) compte 5,5 points, soit environ 1 h 05. Il s'agit de déterminer la viscosité d'une huile moteur à partir de la chute verticale d'une balle filmée par une caméra. On établit l'équation différentielle du mouvement, on la résout par la méthode d'Euler, puis on exploite la formule de Stokes pour identifier l'huile.

Partie 1 : validité du modèle de frottement

Bilan des forces et équation différentielle (1.1 à 1.4)

Dans le référentiel du laboratoire, la balle subit trois forces verticales : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède vers le haut, égale au poids du volume d'huile déplacé, et la force de frottement f = −k v_G, opposée à la vitesse. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe Oz orienté vers le bas donne m dv_G/dt = m g − ρ_huile V g − k v_G. En divisant par m, on obtient dv_G/dt = A − B v_G avec A = g(1 − ρ_huileV/m) et B = k/m. Le calcul donne A = 1,27 m·s^-2 : la parenthèse étant sans unité, A a l'unité d'une accélération.

Régimes et vitesse limite (1.5)

Sur l'annexe, la vitesse augmente jusqu'à t ≈ 0,48 s environ : c'est le régime transitoire. Au-delà, les points forment un palier, le régime permanent. La vitesse limite se lit sur ce palier : v_lim = 17 cm·s^-1 = 0,17 m·s^-1. Une fois cette vitesse atteinte, l'accélération est nulle et le mouvement est rectiligne uniforme ; l'équation donne d'ailleurs v_lim = A/B ≈ 0,17 m·s^-1.

Méthode d'Euler (1.6 à 1.8)

Le pas d'itération est Δt = 0,080 s. À t = 0, la vitesse est nulle et l'accélération vaut A = 1,27 m·s^-2, inférieure à g car la poussée d'Archimède compense l'essentiel du poids. On calcule v_G(0,24) = 0,143 + 0,20 × 0,080 = 0,159 m·s^-1, puis l'accélération à cette date : 1,27 − 7,5 × 0,159 = 0,08 m·s^-2. Les vitesses calculées sont reportées sur l'annexe après conversion en cm·s^-1. La courbe d'Euler passe un peu au-dessus des points expérimentaux au début, puis atteint un palier de 16,9 contre 17 cm·s^-1 mesurés. Diminuer le pas améliore la résolution, et le modèle f = −k v_G est jugé valide.

Partie 2 : viscosité de l'huile

En identifiant f = −k v_G et la formule de Stokes f = −6πηR v_G, on trouve k = 6πηR ; comme k = B m, η = B m/(6πR). Avec B = 7,5 s^-1, m = 35,0 × 10^-3 kg et R = 2,00 × 10^-2 m, on obtient η = 0,70 Pa·s : l'huile étudiée est la SAE 50.

Pièges à éviter

Oublier la poussée d'Archimède est tentant dans une chute, mais elle vaut ici environ 87 % du poids. Dans le calcul de A, le rapport ρ_huileV/m doit rester sans unité : gardez les grammes au numérateur et au dénominateur. Dans la méthode d'Euler, on utilise l'accélération de la date précédente, et non celle de la date d'arrivée. Pour la viscosité, la formule exige le kilogramme et le mètre.

Conseils de méthode

Suivez toujours le même enchaînement en dynamique : système et référentiel, bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection sur l'axe. Pour Euler, calculez colonne après colonne : accélération par l'équation différentielle, puis vitesse suivante.