Un Rubik's Cube en chute libre : mécanique de Newton et énergie

Le troisième exercice du sujet Bac S Amérique du Sud 2011 est le plus lourd de l'épreuve, avec 6,5 points et une durée conseillée d'environ 1 h 18. Il s'appuie sur un fait réel : un parachutiste a résolu un Rubik's Cube en chute, assis sur un bateau gonflable, après avoir sauté d'un avion à 4300 m d'altitude. À partir d'un relevé de positions et de courbes de vitesse et d'altitude, on étudie successivement la chute sans frottement, l'effet de la force de frottement de l'air puis le bilan énergétique. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec la rédaction attendue, les pièges et les méthodes.

Partie 1 : les premières secondes de la chute

La question 1.1.1 demande la vitesse à la date t = 7 s à partir du document de positions : on l'assimile à la vitesse moyenne entre les dates voisines t = 6 s et t = 8 s. On mesure 5,2 cm sur le document, soit 104 m réels à l'échelle 1 cm pour 20 m, d'où 52 m/s. Le piège est de diviser par Δt au lieu de 2Δt, ou d'oublier l'échelle. À la question 1.1.2, on trace le vecteur vitesse au point G7, vertical, vers le bas, de longueur 2,6 cm avec l'échelle des vitesses. Attention : deux échelles coexistent sur le même document.

Les questions 1.2.1 et 1.2.2 appliquent la deuxième loi de Newton au système soumis à son seul poids : l'accélération est égale à g, et l'intégration avec une vitesse initiale nulle donne v = g × t. Il ne faut pas oublier la constante d'intégration. À la question 1.2.3, on trace cette droite passant par l'origine sur le document 2. La question 1.2.4 compare le modèle et les mesures : les points restent sur la droite jusqu'à environ 3 s, durée pendant laquelle les frottements sont négligeables.

Partie 2 : l'effet des frottements

Avec une force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse, la deuxième loi de Newton s'écrit avec le poids et cette force à la question 2.1. Lorsque la vitesse devient constante, le mouvement est rectiligne uniforme, l'accélération est nulle (2.2.1) et les deux forces se compensent (2.2.2). La question 2.2.3 en déduit la vitesse limite : la racine de m × g / k₁ donne environ 67 m/s, en accord avec le premier palier de la courbe 1, situé un peu au-dessous de 70 m/s. Une vérification des unités montre que le résultat est bien une vitesse. À la question 2.2.4, on raisonne qualitativement : en quittant le bateau, le parachutiste présente une surface plus petite, le coefficient de frottement diminue et la nouvelle vitesse limite est plus grande.

Partie 3 : étude énergétique

L'énergie mécanique au départ se réduit à l'énergie potentielle de pesanteur, soit environ 3,2 × 10⁶ J (3.1). Juste avant le largage du bateau, à 2200 m et à 66,7 m/s, elle vaut environ 1,8 × 10⁶ J (3.2). Le piège est d'oublier le carré de la vitesse ou le facteur un demi. La diminution d'environ 1,4 × 10⁶ J s'explique par le travail négatif des frottements (3.3). En l'absence d'atmosphère, rien ne freinerait le parachutiste, même parachute ouvert (3.4.1), et l'énergie mécanique se conserverait (3.4.2). La conservation donne alors une vitesse d'environ 2,0 × 10² m/s à 2200 m, soit environ 730 km/h (3.4.3). La question 3.5 conclut qu'au sens du physicien, il ne s'agit pas d'une chute libre, sauf au tout début du mouvement.

Conseils pour réussir

Annoncez toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant d'écrire la deuxième loi de Newton, contrôlez les échelles des documents et comparez chaque résultat aux courbes pour le valider.