Le radon : radioactivité, statistiques et demi-vie

Cet exercice de 4 points du Bac S Amérique du Sud 2003 s'appuie sur un texte consacré au radon, gaz radioactif naturel issu de la filiation de l'uranium 238 et présent dans les caves et les sous-sols. Il mobilise l'essentiel du chapitre sur la radioactivité : composition d'un noyau, désintégration alpha, caractère aléatoire des désintégrations, loi de décroissance et demi-vie, avec un passage par les statistiques.

La désintégration du radon 222

Le noyau de radon 222 contient 86 protons et 136 neutrons. Le piège : 222 est le nombre total de nucléons, pas le nombre de neutrons, et les électrons ne font pas partie du noyau. Pour écrire l'équation de la désintégration alpha, on applique les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge : le noyau fils a A = 218 et Z = 84, c'est le polonium 218. Le noyau fils n'étant pas excité, il n'y a pas de rayonnement gamma. Le danger du radon vient de son état gazeux : il est respiré, et ses désintégrations ainsi que celles de ses descendants solides se produisent au contact des poumons.

Mesures dans une cave : aléatoire et statistiques

Les 20 comptages réalisés pendant moins d'une heure varient alors que le nombre de noyaux reste pratiquement constant : ces fluctuations traduisent le caractère aléatoire de la désintégration. La moyenne vaut 8,05 événements par seconde et l'écart-type 2,99. Attention à la calculatrice, qui affiche deux écarts-types : la question porte sur σ, obtenu en divisant par 20, et non sur la valeur divisée par 19. L'activité volumique moyenne vaut 80 × 8,05, soit 6,4 × 10² Bq·m^-3, au-dessus du seuil de 400 Bq·m^-3 cité par le texte : l'air de la cave n'est pas conforme et il faut d'abord mieux ventiler.

Détermination graphique de la demi-vie

En prenant le logarithme de la loi de décroissance, ln A devient une fonction affine du temps : la courbe est une droite décroissante de coefficient directeur −λ. Avec deux points lus sur la figure, 6,1 à 50 h et 4,9 à 200 h, on obtient λ = 8,0 × 10^-3 h^-1. Deux pièges ici : oublier que λ est positive alors que la pente est négative, et reprendre le logarithme de valeurs qui en sont déjà. La demi-vie, durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés, vérifie t_1/2 = ln 2 / λ, soit 87 h.

Comparer à la valeur du texte

Le texte annonce 3,8 jours, soit 91 h. L'écart relatif d'environ 4 % reste inférieur à l'imprécision de la lecture graphique : la valeur expérimentale est en accord avec celle du texte. Pour comparer deux valeurs, on les exprime dans la même unité et on chiffre l'écart avant de conclure.

Conseils

Rédigez les lois de conservation, justifiez l'allure de la courbe par le calcul du logarithme et gardez les unités de λ jusqu'au bout : une constante en h^-1 donne une demi-vie en heures. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les écrans de calculatrice et le graphique annoté.