Mesurer le rapport e/m de l'électron

Ce troisième exercice du bac S 2013 aux Antilles-Guyane vaut 5 points et se traite en 50 minutes environ. Il reconstitue l'expérience historique de Thomson : un faisceau d'électrons, émis par un canon avec une vitesse initiale v₀ horizontale, traverse l'espace situé entre deux plaques chargées où règne un champ électrostatique uniforme. La déviation mesurée à la sortie permet de calculer le rapport entre la charge et la masse de l'électron. C'est un exercice de mécanique très classique, où la rigueur sur les vecteurs et les signes fait la différence.

Question 1.1 : tracer le champ électrostatique

Le champ est perpendiculaire aux plaques et orienté de la plaque positive vers la plaque négative, donc vertical vers le bas. Avec E = 15,0 kV·m^-1 et l'échelle de 1,0 cm pour 5,0 kV·m^-1, la flèche mesure 3,0 cm. L'orientation et la longueur sont toutes deux évaluées : une flèche dans le mauvais sens ou hors d'échelle fait perdre le point.

Questions 1.2 et 1.3 : signe de la charge et sens de la force

Le faisceau est dévié vers la plaque positive : les électrons sont attirés par les charges positives, ils portent donc une charge négative. La relation F = qE, avec q = −e, donne F = −eE : la force a la direction du champ mais le sens opposé, donc elle est dirigée vers la plaque positive, ce qui correspond bien à la déviation observée. Le poids étant négligé, cette force est la seule qui courbe la trajectoire.

Question 2.1 : appliquer la deuxième loi de Newton

La démarche attendue suit un ordre précis : système (l'électron), référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces, loi vectorielle, puis projection. On obtient a = −(e/m)E. Le piège se trouve dans la projection : E désigne la norme, positive, alors que la coordonnée du champ sur l'axe vertical vaut −E. Les deux signes moins se compensent et l'on trouve a_x = 0 et a_y = eE/m.

Questions 2.2.1 et 2.2.2 : expression et valeur de e/m

À la sortie des plaques, x = L et y = h. L'équation de la trajectoire fournie donne h = eEL²/(2mv₀²), d'où e/m = 2hv₀²/(EL²). L'application numérique demande de convertir E en V·m^-1, L et h en mètres, et de ne pas oublier les carrés : on obtient e/m = 1,76 × 10¹¹ C·kg^-1, avec trois chiffres significatifs comme les données. Laisser les longueurs en centimètres ou le champ en kV·m^-1 fausse le résultat d'un facteur 10 ou 1000.

Question 2.2.3 : l'incertitude

La formule fournie combine les incertitudes relatives sur h, E, v₀ et L, ces deux dernières comptées quatre fois car elles interviennent au carré. Le calcul donne une incertitude relative de 0,0350, soit U(e/m) = 6 × 10⁹ C·kg^-1 après arrondi à un chiffre significatif. Le résultat s'écrit e/m = (1,76 ± 0,06) × 10¹¹ C·kg^-1. La mesure de la déviation h est celle qui pèse le plus : son incertitude relative, de 2,7 %, dépasse nettement les autres.

Conseils pour cet exercice

Écrivez toujours les relations vectorielles avant de projeter, et faites un petit schéma des axes pour contrôler les signes. Convertissez toutes les grandeurs en unités du Système international avant l'application numérique. Pour l'incertitude, gardez un seul chiffre significatif et arrêtez la valeur au même rang décimal, avec la même puissance de dix. Le corrigé rappelle enfin qu'en 2013 la deuxième loi de Newton s'énonçait avec la quantité de mouvement, ce qui revient au même à masse constante.