Lentille, miroir et rétroprojecteur

L'exercice de spécialité du bac S Amérique du Nord 2007, noté sur 4 points (environ 52 minutes conseillées), remplace un exercice obligatoire pour les candidats de spécialité. Il porte sur l'optique géométrique : construction d'images par une lentille mince convergente, puis étude d'un rétroprojecteur qui associe une lentille de distance focale 315 mm et un miroir plan incliné à 45°.

Partie 1 : deux usages d'une lentille mince

Dans chaque situation, deux rayons issus de B suffisent : celui qui passe par le centre optique sans être dévié, et celui qui arrive parallèlement à l'axe et ressort en passant par le foyer image F′. Quand l'objet est placé avant le foyer objet F, l'image est réelle, renversée et plus petite : c'est le fonctionnement de l'appareil photographique. Quand l'objet est entre F et la lentille, les rayons émergents divergent et ce sont leurs prolongements qui se coupent en B′ : l'image est virtuelle, droite et agrandie, c'est la loupe. Le piège est de tracer ces prolongements en traits pleins.

Partie 2 : trajet d'un rayon dans le rétroprojecteur

La lentille donne de l'objet AB une image intermédiaire A₁B₁, que le miroir intercepte avant qu'elle se forme : A₁B₁ joue le rôle d'objet virtuel pour le miroir, qui en donne l'image définitive A′B′ sur l'écran. Le rayon issu de B qui passe par O vise donc B₁, puis est renvoyé par le miroir vers B′. Comme le miroir plan donne une image symétrique, A₁B₁ est la symétrique de A′B′ : elle est horizontale et MA₁ = MA′ = 1,40 m.

Le grandissement se mesure sur le schéma à l'échelle 1/10 : AB = 1,0 cm et A₁B₁ = 3,7 cm, avec une image renversée, d'où γ ≈ −3,7. Le contrôle par les positions, OA₁/OA, donne une valeur compatible. Le signe est un point de vigilance : un grandissement est un rapport de grandeurs algébriques.

La relation de conjugaison, avec OA = −0,400 m et OA₁ = h + MA₁ = 1,50 m, redonne f′ = 316 mm, conforme à la donnée du constructeur à 0,3 % près. Écrire OA avec le mauvais signe conduit à une valeur fausse, environ 0,545 m.

Partie 3 : projeter plus loin

Pour un écran placé à 4,00 m du miroir, l'image intermédiaire se trouve à 4,10 m de la lentille, h compris. La relation de conjugaison donne alors d₂ = 341 mm : quand la distance miroir-écran augmente, il faut rapprocher la lentille de l'objet. Ce résultat se comprend : d reste supérieure à f′, et l'image devient plus grande.

Conseils

Soignez les constructions à la règle, orientez toutes les distances et vérifiez la cohérence de chaque résultat avec le schéma. Le corrigé présente les annexes complétées et chaque calcul à la calculatrice.