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Mécanique des fluides
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Chute d'une balle et méthode d'Euler - Bac S Amérique du Nord 2003 (ancien programme) - Ex 4 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2003
Bac S (ancien programme)
Un exercice de mécanique sur 5,5 points : un dialogue entre élèves sert de fil conducteur pour modéliser la chute d'une balle de ping-pong freinée par l'air. 🏓
- associer des schémas de forces à différents instants de la chute ;
- comparer poids et poussée d'Archimède ;
- établir l'équation du mouvement avec la deuxième loi de Newton ;
- lire la vitesse limite et en déduire le coefficient de frottement ;
- appliquer la méthode d'Euler et discuter le pas et le modèle de frottement.
Sujet officiel et corrigé détaillé en PDF, avec les pièges à éviter question par question.
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Chute d'une balle de ping-pong et méthode d'Euler : l'exercice 4 du Bac S 2003 Amérique du Nord
Cet exercice de mécanique vaut 5,5 points, pour environ 1 h 05 de travail. Il se présente sous la forme d'un dialogue entre trois élèves qui étudient l'enregistrement de la chute d'une balle de ping-pong. Les questions arrivent après chaque étape du dialogue : bilan des forces, équation du mouvement, détermination du coefficient de frottement, puis résolution numérique par la méthode d'Euler.
Bilan des forces et poussée d'Archimède
Les trois schémas d'élèves ne sont pas faux : chacun correspond à un instant de la chute. Le poids et la poussée d'Archimède gardent la même valeur, seule la force de frottement varie avec la vitesse. Sans frottement, c'est l'instant du lâcher ; avec un frottement court, une date quelconque ; avec un frottement long, un temps de chute plus grand. Le calcul du rapport entre le poids et la poussée d'Archimède donne 62 : la poussée est négligeable. Le piège est dans les unités : la masse en kilogrammes, le rayon en mètres et le rayon élevé au cube.
Équation du mouvement et exploitation des courbes
Dans le référentiel terrestre, en projetant la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le bas, on obtient m dv/dt = mg - F. Il faut préciser le sens de l'axe, sinon les signes sont faux. Sur le document 1, la courbe qui passe par l'origine est la vitesse, puisque la balle est lâchée sans vitesse initiale ; celle qui part de 9,8 m·s-2 est l'accélération.
La vitesse ne varie plus à partir d'environ 2 s : la vitesse limite vaut 8,0 m/s. À cette vitesse, l'accélération est nulle et le frottement compense le poids, d'où k = 3,5 × 10-4 kg/m et l'équation dv/dt = 9,8 - 0,15 v². La valeur théorique proposée par le sujet donne 3,2 × 10-4 kg/m : l'écart d'environ 9 % reste acceptable pour une valeur lue sur un graphique.
Méthode d'Euler
Le temps caractéristique se lit à l'intersection de la tangente à l'origine et de l'asymptote : environ 0,8 s. Le pas de 0,05 s est environ 16 fois plus petit, ce qui paraît satisfaisant. Pour compléter le tableau, on alterne deux relations : l'accélération se calcule avec la vitesse de la même ligne, puis la vitesse suivante avec l'accélération de la ligne précédente. On trouve 9,76 m·s-2, 0,98 m/s et 9,48 m·s-2. Les huit ou neuf chiffres du tableur n'ont aucun sens physique, puisque les données n'ont que deux ou trois chiffres significatifs : c'est ce qui fait rire Amélie.
Valider le modèle
Les vitesses calculées suivent bien les vitesses mesurées, l'accord est moins bon pour l'accélération. Avant de mettre en cause le modèle, il faut refaire le calcul avec un pas plus petit. Si l'écart persiste, on peut essayer un frottement proportionnel à la vitesse ; l'équation devient alors dv/dt = 9,8 - 1,2 v, le coefficient étant toujours déduit de la vitesse limite.
Conseils pour réussir
Dans un exercice en dialogue, repérez précisément quelles questions suivent chaque passage. Justifiez chaque lecture graphique par une propriété physique, et présentez un calcul d'Euler sous la forme d'une relation de récurrence avant les valeurs.