Découvrez le corrigé détaillé d'un contrôle de mathématiques pour le niveau Première Spécialité. Ce sujet complet de 2 heures couvre trois chapitres essentiels du programme : les probabilités conditionnelles, la dérivation globale et les suites numériques. Chaque exercice est analysé en profondeur pour vous aider à maîtriser les compétences clés, de la construction d'arbres de probabilités à l'étude de fonctions et la modélisation avec des suites. Ce document est un excellent outil de révision pour préparer vos évaluations et renforcer votre compréhension des concepts mathématiques fondamentaux.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles dans un Contexte Concret

Cet exercice nous plonge dans une situation classique de probabilités avec l'analyse d'une bibliothèque musicale sur un lecteur MP3. Les morceaux sont classés par genre (Classique, Variété, Jazz) et par qualité d'encodage (Haute, Standard).

• Question 1 : La première étape consiste à modéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. Il faut traduire les pourcentages et les proportions donnés dans l'énoncé en probabilités sur les branches de l'arbre. Une attention particulière est requise pour calculer la probabilité du genre Jazz, qui est le complémentaire des deux autres.
• Question 2 : On demande ici de calculer la probabilité d'une intersection d'événements : "le morceau est de la musique classique ET il est encodé en haute qualité". Cela correspond au calcul de $P(C \cap H)$, qui se trouve en multipliant les probabilités le long de la branche correspondante de l'arbre.
• Question 3 : Cette question est plus complexe et fait appel à la formule des probabilités totales. Connaissant la probabilité totale d'être en haute qualité $P(H) = \frac{13}{20}$, il faut l'utiliser pour déterminer une probabilité conditionnelle inconnue, $P_J(H)$, la probabilité qu'un morceau de Jazz soit en haute qualité.
• Question 4 : Il s'agit d'un calcul de probabilité conditionnelle "inversée". Sachant que le morceau écouté est en haute qualité, on cherche la probabilité qu'il soit du genre variété. Cela revient à calculer $P_H(V) = \frac{P(H \cap V)}{P(H)}$, une application directe de la définition des probabilités conditionnelles.

Exercice 2 : Vrai ou Faux avec Justification

Cet exercice teste la compréhension de concepts précis à travers trois affirmations à valider ou réfuter en apportant une justification mathématique rigoureuse.

• Affirmation 1 : On évalue l'indépendance de deux événements A et B. Pour cela, il faut d'abord calculer la probabilité de leur intersection $P(A \cap B)$ en utilisant la formule de l'union : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Ensuite, on compare ce résultat au produit $P(A) \times P(B)$. Si les deux sont égaux, les événements sont indépendants.
• Affirmation 2 : Cette question mélange géométrie analytique et dérivation. Il faut vérifier si la droite $(AB)$ est la tangente à la courbe de la fonction $g(x) = 6\sqrt{x} + 6$ au point d'abscisse 4. La démarche consiste à :
  1. Calculer l'équation de la droite $(AB)$.
  2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4, en utilisant le nombre dérivé $g'(4)$.
  3. Comparer les deux équations pour conclure.
• Affirmation 3 : On s'intéresse à la dérivabilité en un point de la fonction $f(x) = x|x|$. Pour justifier si la fonction est dérivable en 0, il est nécessaire d'étudier la limite du taux d'accroissement $\frac{f(h) - f(0)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0 par la droite ($h \to 0^+$) et par la gauche ($h \to 0^-$). La fonction est dérivable si et seulement si ces deux limites existent, sont finies et égales.

Exercice 3 : Étude d'une Fonction Polynôme et de ses Tangentes

Cet exercice est une étude de fonction classique axée sur la dérivation et l'interprétation géométrique du nombre dérivé. La fonction étudiée est un polynôme du troisième degré, $f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x + 2$.

• Question 1 : On cherche les points de la courbe où la tangente est horizontale. Cela revient à trouver les abscisses $x$ pour lesquelles le nombre dérivé $f'(x)$ est nul. Il faut donc résoudre l'équation du second degré $3x^2 - 10x + 6 = 0$.
• Question 2a : Il s'agit de déterminer l'équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 3, en appliquant la formule $y = f'(3)(x-3) + f(3)$.
• Question 2b & 2c : L'objectif est d'étudier la position relative de la courbe $C_f$ par rapport à sa tangente $T$. Pour cela, on étudie le signe de la différence $d(x) = f(x) - (3x-7)$. L'énoncé guide en donnant la forme factorisée de cette différence, $d(x) = (x+1)(x-3)^2$, ce qui simplifie grandement l'étude de signe à l'aide d'un tableau.

Exercice 4 : Modélisation avec les Suites Numériques

Cet exercice aborde la modélisation d'une situation évolutive (une population de poissons) à l'aide d'une suite numérique.

• Question 1 : La première étape est de traduire l'énoncé en une relation de récurrence. Une augmentation de 30% suivie d'un retrait de 15 individus mène à une suite arithmético-géométrique de la forme $u_{n+1} = 1.3u_n - 15$.
• Question 2 & 3 : On effectue des calculs de termes de la suite et on complète un algorithme en Python pour automatiser ce calcul.
• Question 4 : On doit démontrer que la suite est croissante. La méthode la plus directe est d'étudier le signe de la différence $u_{n+1} - u_n$.
• Question 5 & 6 : On s'intéresse à un problème de seuil : déterminer à partir de quel mois la population dépassera 500 poissons. Il faut pour cela compléter un algorithme avec une boucle "while" et utiliser la calculatrice pour trouver la valeur numérique renvoyée.

Exercice 5 : Lecture Graphique et Identification de Fonction

Ce dernier exercice fait le lien entre l'analyse graphique et le calcul algébrique dans le contexte de la dérivation.

• Question 1 : Il est demandé de lire graphiquement des informations clés : l'ordonnée d'un point de la courbe, $f(-1)$, et le coefficient directeur de la tangente en ce point, $f'(-1)$.
• Question 2 : À partir des valeurs graphiques obtenues et de l'expression générale de la fonction $f(x) = ax^3 + bx^2 + 1$, on établit un système de deux équations à deux inconnues ($a$ et $b$) qu'il faut résoudre pour identifier complètement la fonction.
• Question 3 : En utilisant la pente donnée $f'(-2)=4$, on doit tracer une nouvelle tangente sur le graphique. Cela demande de localiser le point d'abscisse -2 sur la courbe, puis de tracer la droite passant par ce point avec la pente indiquée.