Métis, un satellite en sursis : un exercice de 6 points

L'exercice 3 du bac 2025 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 1) compte pour 6 points sur 20, environ 1 h 03. Il porte sur Métis, l'un des satellites les plus proches de Jupiter. La première partie déroule la démonstration classique du mouvement circulaire d'un satellite ; la seconde utilise les limites de Roche pour prévoir le destin de Métis. Onze questions, dont beaucoup de démonstrations littérales qu'il faut savoir rédiger.

Le repère de Frenet et la force de gravitation (Q1 à Q3)

Le schéma demandé montre Jupiter, l'orbite circulaire et le repère de Frenet, dont l'origine est le satellite. Le vecteur tangentiel suit le sens du mouvement et le vecteur normal pointe vers le centre de Jupiter. La force de gravitation s'écrit alors avec un signe plus devant le vecteur normal, puisqu'elle est attractive et dirigée vers le centre. Le signe moins n'apparaît qu'avec un vecteur unitaire orienté de Jupiter vers le satellite.

Mouvement uniforme, vitesse, période et Kepler (Q4 à Q7)

La méthode est toujours la même : appliquer la deuxième loi de Newton au système Métis dans le référentiel jovien supposé galiléen, écrire l'accélération dans le repère de Frenet, puis identifier. Selon le vecteur tangentiel, la dérivée de la vitesse est nulle : le mouvement est uniforme. Le piège est de conclure à partir d'un vecteur accélération « constant », alors qu'il change de direction. Selon le vecteur normal, on obtient la vitesse, racine carrée de G M_J / r, où la masse du satellite s'est simplifiée. La période s'en déduit en divisant la circonférence de l'orbite par la vitesse ; « en déduire » impose de remplacer la vitesse par son expression. En élevant au carré, on retrouve la troisième loi de Kepler : le rapport du carré de la période au cube du rayon ne dépend que de la masse de Jupiter.

Le rayon de l'orbite et la masse volumique de Jupiter (Q8 et Q9)

La période de 7 h 4 min 30 s doit être convertie en secondes, soit 25 470 s. La troisième loi de Kepler, réarrangée et suivie d'une racine cubique, donne un rayon de 1,28 × 10⁸ m. La masse volumique de Jupiter, assimilée à une sphère, vaut 1 327 kg·m^-3, à condition de convertir le rayon en mètres et d'utiliser le volume de la sphère, et non son aire.

Les limites de Roche et le destin de Métis (Q10 et Q11)

Les deux formules ne diffèrent que par leur coefficient : on calcule une fois le produit commun, puis on obtient 1,96 × 10⁸ m pour la limite « fluide » et 1,02 × 10⁸ m pour la limite « rigide ». Le rayon de l'orbite de Métis se situe entre les deux. Sous la limite fluide, le satellite se déforme et perd de la matière ; au-dessus de la limite rigide, il n'est pas encore détruit. Métis est donc bien en sursis : il perd de la matière et de l'altitude, et sera détruit quand son orbite passera sous la limite rigide.

Conseils pour réussir cet exercice

Rédigez les démonstrations étape par étape : système, référentiel, bilan des forces, loi appliquée, identification. Vérifiez les unités avant chaque calcul numérique et comparez toujours le rayon aux deux limites. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec les schémas et les erreurs à éviter.