L'accélérateur de Van de Graaff : un proton dans un champ électrique

L'exercice 3 du bac 2023 de physique-chimie en Polynésie (jour 2) vaut 6 points, soit environ 1 h 03. Il s'appuie sur un accélérateur de particules utilisé pour analyser des objets d'art : des protons sont accélérés à travers une série de condensateurs plans. C'est un exercice de mécanique très classique, qui mobilise la force électrostatique, la deuxième loi de Newton, les équations horaires et le théorème de l'énergie cinétique.

Questions 1 et 2 : la force et le poids

Le proton porte la charge +e, donc F = eE a la direction et le sens du champ : perpendiculaire aux plaques, de la plaque 1 vers la plaque 2. Le vecteur part du proton, pas d'une plaque. À la question 2, on calcule P = m_pg = 1,64 × 10⁻²⁶ N et F = eE = 2,4 × 10⁻¹³ N. Le rapport F/P vaut environ 1,5 × 10¹³ : le poids est négligeable. Pour conclure, il faut bien un rapport et non une différence.

Questions 3 et 4 : accélération et vitesse

La deuxième loi de Newton s'applique au système {proton} dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Avec la seule force électrostatique, on obtient le vecteur accélération a = (e/m_p) E, soit (eE/m_p) selon l'axe (Oz). Donner seulement la norme ne répond pas à la question, qui porte sur un vecteur. Pour la vitesse, on cherche une primitive de a_z avec sa constante, puis on fixe celle-ci par la condition initiale : le proton est libéré sans vitesse, d'où v_z(t) = (eE/m_p) t.

Question 5 : la vitesse en sortie du premier condensateur

On intègre une seconde fois pour obtenir z(t), on cherche la date d'arrivée sur la plaque 2 (z = d), puis on reporte dans v_z. On aboutit à v₂ = √(2eEd/m_p) = 2,9 × 10⁶ m·s⁻¹. Le théorème de l'énergie cinétique donne la même expression plus rapidement. Cette vitesse est inférieure à 2,3 × 10⁷ m·s⁻¹ : elle ne suffit pas pour l'analyse d'un objet d'art. Le piège tient aux puissances de dix : 2,9 est bien compris entre 2,3 et 3,1, mais 10⁶ n'est pas 10⁷.

Questions 6 à 8 : la série de condensateurs

Dans le deuxième condensateur, le proton subit le même champ, donc la même force et la même accélération ; l'origine des dates est conservée et la vitesse ne présente aucune discontinuité. L'expression de v_z(t) reste donc valable. Le théorème de l'énergie cinétique entre la première et la dernière plaque donne E_c(final) = eU, puisque l'énergie cinétique initiale est nulle. L'intérêt est net : aucune équation horaire n'est nécessaire. Avec U = 3,0 MV, on trouve v_f = √(2eU/m_p) = 2,4 × 10⁷ m·s⁻¹, dans l'intervalle utile : le proton permet l'analyse. Convertissez bien les mégavolts en volts et ne multipliez pas U par le nombre de condensateurs, car les 3,0 MV sont déjà la tension totale.

Conseils pour cet exercice

Présentez toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant la deuxième loi de Newton. Citez explicitement les conditions initiales lors des intégrations. Enfin, contrôlez la cohérence de vos résultats : la vitesse finale doit être nettement supérieure à celle obtenue après un seul condensateur, ce que confirment les calculs.