Autour de Saturne : lunette, diffraction et lois de Kepler en 11 points

Le premier exercice du bac 2023 de physique-chimie en Asie (jour 1) pèse 11 points sur 20 : plus de la moitié de la note se joue ici. Il part d'une question simple, peut-on voir Titan, la plus grosse lune de Saturne, depuis la Terre, et la déroule en trois temps : l'observation à l'œil nu et le grossissement nécessaire, la lunette afocale de l'observatoire de Marseille avec la limite imposée par la diffraction, puis le mouvement des satellites et des anneaux de Saturne. Les 17 questions sont courtes, mais elles s'enchaînent : un résultat faux au début se propage loin.

Diamètre apparent et grossissement minimal (Q1 à Q3)

Le calcul de départ, θ = d/D avec l'approximation des petits angles, donne 3,6 × 10^-6 rad. Les deux longueurs sont en kilomètres : le rapport est sans unité, inutile de convertir. La question 2 n'accepte qu'une comparaison chiffrée : θ est très inférieur au pouvoir séparateur de l'œil ε = 3 × 10^-4 rad, donc Titan n'est pas visible à l'œil nu. On en déduit G_min = ε/θ ≈ 83, un ordre de grandeur puisque ε n'a qu'un chiffre significatif.

La lunette afocale (Q4 à Q9)

L'objectif est la lentille tournée vers l'astre, l'oculaire celle placée devant l'œil. Pour une lunette afocale, le foyer objet F₂ de l'oculaire est confondu avec le foyer image F'₁ de l'objectif, et F'₂ est son symétrique par rapport à O₂. La construction de la marche des rayons repose sur le rayon passant par O₁, qui donne l'image intermédiaire B₁ dans le plan focal commun ; en sortie, les rayons sont parallèles entre eux, inclinés de θ', et non parallèles à l'axe. La démonstration de G = f'_ob/f'_oc doit partir de G = θ'/θ et exprimer chaque angle dans un triangle rectangle nommé. Avec f'_ob = 3,10 m, l'oculaire de 12 mm donne le plus fort grossissement, G_max ≈ 258, à condition de convertir les deux focales dans la même unité. Titan est alors vu sous 9,3 × 10^-4 rad, au-dessus de ε, alors que Janus reste sous la limite. La longueur de la lunette s'estime à f'_ob + f'_oc, soit environ 3,1 m.

La diffraction limite la résolution (Q10 à Q12)

Le phénomène à nommer est la diffraction de la lumière par l'ouverture de l'objectif. Avec λ = 550 nm et d_ob = 260 mm, le pouvoir de résolution vaut α = 1,22λ/d_ob ≈ 2,58 × 10^-6 rad : le piège classique est de laisser les nanomètres et les millimètres sans conversion. Comme α est inversement proportionnel au diamètre, un grand objectif sépare des détails plus fins.

Satellites et anneaux de Saturne (Q13 à Q17)

La démonstration de v = √(GM_S/r) suit l'ordre attendu : système, référentiel saturnocentrique supposé galiléen, force gravitationnelle, deuxième loi de Newton, accélération dans le repère de Frenet. On en tire la troisième loi de Kepler avec k = 4π²/(GM_S). Appliquée à Janus (période de 17 h), elle donne M_S ≈ 5,4 × 10²⁶ kg, à condition de passer le rayon en mètres et la période en secondes. Les corps d'un anneau ne tournent pas tous à la même vitesse, puisque v diminue quand r augmente. Enfin, le rapport des deux lois de Kepler montre que la bordure interne fait 2,90 tours, près de 3, pendant que la bordure externe en fait un : pas besoin de G ni de M_S.

Conseils pour cet exercice

Soignez les conversions, qui sont la première source d'erreur, et vérifiez chaque résultat par un contrôle de bon sens : l'orbite la plus grande a la période la plus longue, donc le nombre de tours doit dépasser 1. Sur l'annexe, tracez à la règle et reportez les distances focales avec précision : la question 5 dépend directement de la question 4.