L'électro-fracturation : un exercice d'électricité de 6 points

Le troisième exercice du bac 2023 de physique-chimie à La Réunion (jour 1) vaut 6 points sur 20, soit environ 1 h 03. Il étudie un procédé d'extraction du gaz de schiste : des condensateurs identiques, associés en un condensateur équivalent, sont chargés sous haute tension puis déchargés dans l'eau entre deux électrodes pour créer un arc électrique qui fracture la roche. La partie A porte sur la charge du circuit RC, la partie B sur la pré-décharge et le rendement énergétique.

La charge du condensateur équivalent (A.1 à A.3)

Avec l'interrupteur en position 1, la loi des mailles donne E = uR1 + uC,eq ; la branche de R₂ est ouverte et n'intervient pas. L'équation différentielle suit la démarche classique en trois étapes : loi des mailles, loi d'Ohm, puis i = Ceq duC,eq/dt. On isole la dérivée pour obtenir duC,eq/dt + uC,eq/(R₁Ceq) = E/(R₁Ceq). Pour vérifier la solution proposée, on dérive, on remplace et on montre que l'égalité est vraie à tout instant si τcharge = R₁Ceq, sans oublier la condition initiale uC,eq(0) = 0. L'erreur de signe en dérivant −e^(−t/τ) empêche les exponentielles de se simplifier.

Lecture graphique et nombre de condensateurs (A.4 et A.5)

À t = τcharge, la tension vaut 63 % de E, soit 25 200 V pour E = 40 kV. L'horizontale correspondante coupe la courbe 1 à τcharge ≈ 0,10 s ; la tangente à l'origine est une autre méthode acceptée. Avec R₁ = 160 kΩ converti en ohms, on obtient Ceq = 6,3 × 10⁻⁷ F. Le condensateur équivalent regroupe N condensateurs de 200 nF : N = 3,1, donc N = 3 et Ceq = 600 nF. L'écart vient de la lecture graphique, qui ne donne que deux chiffres significatifs.

Énergie stockée (A.6)

En fin de charge, la tension atteint E. L'énergie maximale stockée vaut Wmax = ½CeqE² = 4,8 × 10² J. Les pièges sont de garder les kilovolts et les nanofarads sans conversion, ou d'oublier le carré sur la tension.

Pré-décharge et rendement (B.1 à B.3)

Pendant la pré-décharge, de durée Δt = 12 µs, le condensateur se décharge dans R₂ = 100 Ω, avec un temps caractéristique R₂Ceq = 60 µs. La tension tombe à 3,3 × 10⁴ V, soit 33 kV. Pour l'énergie restante, il faut garder la valeur non arrondie de la tension : on trouve Warc = 3,2 × 10² J, alors que la valeur arrondie de 33 kV donnerait 327 J au lieu de 322 J, le carré amplifiant l'erreur. Le rendement vaut η = Warc/Wmax = 0,67, soit 67 %. Le commentaire attendu : environ un tiers de l'énergie stockée est dissipé par effet Joule pendant la pré-décharge, et cette perte augmenterait si la pré-décharge durait plus longtemps.

Conseils pour cet exercice

Connaissez par cœur la démarche du circuit RC et la valeur de 63 % à t = τ. Convertissez systématiquement les préfixes (kV, kΩ, nF, µs) avant tout calcul et gardez les résultats intermédiaires en mémoire de la calculatrice. Un rendement se commente toujours : dites où passe l'énergie perdue.