Lunette astronomique et observations de Mars : un exercice en deux temps

L'exercice 1 du sujet Centres étrangers 1 2022 (jour 1) est l'exercice commun, noté sur 10 points et prévu pour environ 1 h 45. Un astronome amateur veut observer la calotte polaire Nord de Mars. La première partie étudie sa lunette afocale, la seconde le temps nécessaire pour que l'instrument se mette à la température de l'air extérieur. Les dix-huit questions alternent tracés sur l'annexe, démonstrations littérales et applications numériques.

Partie optique : de l'annexe au grossissement

Nommer les lentilles et tracer les faisceaux (Q1 à Q4)

L₁, qui reçoit la lumière de l'astre, est l'objectif ; L₂, placée devant l'œil, est l'oculaire. Les rayons 1 et 2, parallèles à l'axe, convergent en F′₁, confondu avec F₂, puis ressortent parallèles à l'axe. Le piège est de prolonger les rayons tout droit : le faisceau se croise en F′₁. Pour le faisceau incliné issu de B_∞, la bonne méthode consiste à chercher d'abord le rayon qui passe par le centre optique O₁ : il fixe le point B₁ du plan focal, puis la direction de sortie, parallèle à la droite (B₁O₂). L'image intermédiaire A₁B₁ se place dans le plan focal commun et l'angle α′ se marque en O₂.

Afocale et grossissement (Q5 à Q7)

Un objet à l'infini donne une image à l'infini : la lunette est afocale et l'œil observe sans accommoder. Le grossissement se définit par G = α′/α. La démonstration de G = f′₁/f′₂ repose sur deux triangles rectangles, O₁A₁B₁ et O₂A₁B₁, et sur l'approximation des petits angles. Il faut écrire que A₁ est confondu avec F′₁ et F₂, faute de quoi les longueurs f′₁ et f′₂ ne sont pas justifiées.

Pouvoir séparateur et distance de Mars (Q8 à Q10)

L'œil distingue un détail si α′ dépasse θ₀ = 2,7 × 10^-4 rad, d'où α_min = (f′₂/f′₁) × θ₀ = 5,9 × 10^-6 rad. Inverser le rapport est l'erreur typique : la lunette grossit, donc α_min est plus petit que θ₀. Avec une calotte d'environ 10³ km, on estime D ≈ 1,7 × 10⁸ km, soit environ 1,1 UA. Comme la distance Terre-Mars varie de 0,5 à 2,5 UA, la conclusion doit être nuancée : la calotte n'est observable que lorsque Mars est assez proche.

Partie thermique : la lunette se met à température

Bilan d'énergie et équation différentielle (Q11 à Q14)

Le transfert thermique va de la lunette, à 19,5 °C, vers l'air, à 9,0 °C. Le premier principe s'écrit ΔU = W + Q, avec W = 0 pour la lunette au repos. En combinant ΔU = CΔθ, Q = ΦΔt et la loi de Newton, on obtient la relation (1), puis l'équation différentielle en divisant par CΔt et en faisant tendre Δt vers 0. Cette phrase sur la limite est attendue. Le temps caractéristique vaut τ = C/(hS), et une analyse d'unités confirme qu'il s'agit bien d'une durée.

Solution et validation du modèle (Q15 à Q18)

La température finale est celle de l'air, donc B = 9,0 °C ; la condition initiale donne A = θ₀ − θ_e = 10,5 °C. Le modèle, avec τ = 1414 s, suit bien les mesures sur les 20 minutes d'expérience. À t = 2,0 h, il faut convertir le temps en secondes avant de calculer : on trouve θ ≈ 9,1 °C, soit un écart à l'air très inférieur à 1 °C.

Conseils pour cet exercice

Soignez les tracés de l'annexe à la règle, rédigez chaque démonstration en nommant les triangles ou le système étudié, et vérifiez la cohérence des unités dans les exposants. Les questions de conclusion, sur Mars comme sur la température, demandent une phrase argumentée plutôt qu'un simple oui ou non.