Condensateur, bobine et énergie : un exercice complet d'électricité

Ce deuxième exercice du bac S 2012 Antilles-Guyane vaut 5 points, soit environ 1 h 05. Il enchaîne les deux grands montages du programme d'électricité : la charge d'un condensateur dans un circuit RC, puis sa décharge dans une bobine, qui produit des oscillations électriques. Le fil conducteur est l'énergie, stockée dans le condensateur puis échangée avec la bobine.

Partie 1 : la charge du condensateur

On commence par placer la flèche de la tension u(AB) en convention récepteur et par brancher l'oscilloscope : voie Y en A, masse en B. Inverser les deux afficherait u(BA), une courbe retournée. L'équation différentielle s'établit par la loi d'additivité des tensions, E = R × i + u(AB), avec i = C × du(AB)/dt puisque le courant arrive sur l'armature A. On obtient du(AB)/dt + u(AB)/(RC) = E/(RC).

Pour vérifier que u(AB) = A(1 − e^(−t/τ)) est solution, la méthode consiste à remplacer dans l'équation puis à identifier séparément les termes en exponentielle et les termes constants : on trouve τ = RC et A = E. A est la tension finale, τ la constante de temps. Sur la courbe, τ se lit à 63 % de E, soit 3,8 V pour E = 6,0 V, ou par la tangente à l'origine : on trouve τ = 0,070 s. Avec R = 1470 Ω, la capacité vaut C = τ / R = 4,8 × 10⁻⁵ F, soit 48 µF, cohérente avec les 47 µF de la suite. L'énergie stockée vaut ½ C E² = 8,6 × 10⁻⁴ J ; le piège est d'oublier le carré ou le facteur ½.

Partie 2 : les oscillations dans la bobine

Lorsque la résistance est négligée, l'équation d²u(AB)/dt² + u(AB)/(LC) = 0 admet des solutions sinusoïdales d'amplitude constante. Parmi les trois courbes proposées, seule la figure 6b convient : la 6a décroît sans osciller et la 6c n'est pas sinusoïdale. L'analyse dimensionnelle de f₀ = 1/(2π√(LC)) demande de partir de relations connues, u = L × di/dt et i = C × du/dt : on montre que LC a la dimension d'un temps au carré, donc f₀ s'exprime bien en hertz.

La période propre vaut T₀ = 2π√(LC) = 2,0 × 10⁻² s avec L = 0,21 H et C = 47 µF, à condition de convertir les microfarads. Sans effet Joule, l'énergie totale ½ C u² + ½ L i² reste constante et passe alternativement du condensateur à la bobine.

Partie 3 : l'amortissement

Avec une faible résistance, le régime devient pseudo-périodique : la courbe part de 6,0 V, oscille avec une pseudo-période voisine de T₀ et une amplitude décroissante. Le piège est de modifier les dates des maximums : seule l'amplitude diminue. L'interprétation énergétique est attendue : l'effet Joule transfère à chaque oscillation une partie de l'énergie vers l'extérieur sous forme thermique, l'énergie totale diminue et l'amplitude aussi.

Conseils pour réussir

Maîtrisez la démonstration de la solution d'une équation différentielle, les deux méthodes de lecture de τ et les expressions des énergies du condensateur et de la bobine. Une lecture graphique donne deux chiffres significatifs : inutile d'en écrire davantage dans les résultats qui en découlent.