Quand le jeu vidéo devient réalité : condensateur, circuit RC et ondes

Le deuxième exercice du bac S 2012 de Métropole, noté sur 5,5 points, s'intéresse à la manette d'une console de jeu. Il suit le signal de bout en bout : un mouvement de la main déplace une armature de condensateur, ce déplacement modifie une capacité, cette variation se traduit par une tension, puis l'information part vers la console par ondes radio. L'exercice demande surtout de la rigueur dans les puissances de dix et dans les arrondis.

Partie 1 : l'accéléromètre capacitif

La question 1.1 est une analyse dimensionnelle. De x = −(m/k) a_x, on tire a_x = −k x / m. La raideur k, en N/m, a la dimension M·T^-2 grâce à F = m a, d'où une dimension L·T^-2 pour a_x : c'est bien une accélération. Le signe moins n'intervient pas dans les dimensions.

En 1.2.1, l'application numérique donne x₁ = 2,42 × 10^-8 m, soit 24,2 nm. Ce déplacement est positif parce que l'accélération est négative ; oublier ce signe fausse toute la suite. La distance entre armatures devient d₁ = d₀ + x₁ : elle augmente, et puisque C = α/d, la capacité diminue (question 1.2.2). La constante α ne dépendant que de la surface et du milieu, on montre ensuite que C₁ = C₀ d₀ / d₁.

Le calcul de C₁ en 1.2.4 cache un piège d'unités : d₀ est donnée en micromètres, x₁ en mètres. On trouve C₁ = 1,28 × 10^-14 F. En 1.2.5, la différence de deux valeurs proches perd des chiffres significatifs : avec la valeur non arrondie on obtient ΔC₁^tot ≈ −2,5 × 10^-14 F, avec C₁ arrondie −2,40 × 10^-14 F, valeur que le sujet reprend ensuite. Le signe négatif traduit la diminution de la capacité.

Partie 2 : le circuit de mesure

La constante de temps vaut τ = R C₀^tot = 1,56 × 10^-7 s, à condition de convertir les 100 kΩ. La charge est pratiquement terminée après 5τ = 7,80 × 10^-7 s, bien avant 0,1 s. En régime permanent, la charge ne varie plus, donc i = dq/dt = 0, et la loi d'additivité des tensions donne u_C = E = 3,00 V. C'est la nullité de la tension aux bornes de la résistance qui justifie ce résultat.

La question 2.2.2 repose sur la conservation de la charge : le circuit étant ouvert, q₀ = C₀^tot U₀ reste constante. On en déduit U₁ = 3,05 V, soit un écart d'environ 47 mV, largement supérieur au seuil de 1 mV : l'accélération est détectée. À charge constante, une capacité qui diminue fait augmenter la tension.

Partie 3 : la liaison Bluetooth

Avec f = 2 450 MHz, la longueur d'onde vaut λ = c/f = 0,122 m, soit 12,2 cm ; oublier la conversion des mégahertz donne une valeur un million de fois trop grande. Cette longueur d'onde se place dans le domaine des micro-ondes, entre 10^-3 m et 1 m sur la figure. Enfin, la pile de livres a des dimensions du même ordre que λ : l'onde est diffractée et contourne l'obstacle.

Conseils pour réussir

Mettez toutes les longueurs dans la même unité avant de les additionner, gardez les valeurs non arrondies en mémoire quand on soustrait des grandeurs voisines, et justifiez chaque résultat de régime permanent par une loi du circuit.