Un exercice de spécialité sur 5 points

L'exercice 4 du bac S 2019 Métropole (ancien programme) est l'exercice de spécialité, traité à la place de l'exercice 3 par les candidats concernés. Prévu pour une cinquantaine de minutes, il ne compte que deux questions, dont un problème ouvert. Le contexte : quatre diapasons en aluminium de fréquences 485 Hz, 384 Hz, 320 Hz et 256 Hz doivent être usinés pour émettre tous un La3 à 440 Hz, amplifié par une caisse de résonance.

Question 1 : analyse dimensionnelle et mesures

Homogénéité de la formule

La formule (1) donne f = 0,16 × √(E/ρ) × d / L². Le quotient E/ρ s'exprime en m²·s⁻², donc sa racine en m·s⁻¹, une vitesse. Le quotient d / L² s'exprime en m⁻¹. Le second membre est en s⁻¹, c'est-à-dire en hertz : la formule est homogène. L'oubli de la racine carrée est l'erreur la plus fréquente.

Compatibilité avec le tableau

La question demande aussi de confronter la formule aux mesures, ce que beaucoup oublient. Les quatre diapasons ont le même matériau et la même largeur : f doit donc être proportionnelle à 1 / L². Le quotient de f par 1 / L² vaut 5,66, 5,62, 5,66 et 5,53 m²·s⁻¹ : ces valeurs s'écartent de moins de 2 % de leur moyenne, 5,62 m²·s⁻¹. Le modèle est compatible avec les mesures. Une formule homogène n'est pas forcément juste : l'analyse dimensionnelle ne dit rien du coefficient 0,16.

Question 2 : la résolution de problème

Longueur d'onde et caisse de résonance

La figure 3 donne une vitesse du son de 346 m/s à 25 °C. La longueur d'onde vaut 346 / 440 = 0,786 m. La profondeur de la caisse doit être un multiple impair de λ/4 : la plus petite valeur, 19,7 cm, convient pour les quatre diapasons, qui émettront le même son. La valeur 3λ/4, soit 59,0 cm, serait possible mais encombrante. Utiliser 340 m/s au lieu de la valeur lue à 25 °C fait perdre des points.

Raccourcir ou amincir les branches

Les diapasons 2, 3 et 4 sont trop graves : il faut augmenter leur fréquence en raccourcissant les branches. Pour un même diapason, f × L² reste constant, d'où L' = L × √(f / 440). On obtient 11,3 cm pour les diapasons 2 et 3, et 11,2 cm pour le diapason 4. Le diapason 1, à 485 Hz, est trop aigu. Couper ses branches augmenterait encore sa fréquence, et on ne peut pas les allonger : on diminue leur largeur, f étant proportionnelle à d. La nouvelle largeur vaut 7,0 × 440 / 485 = 6,4 mm.

Regard critique

Le modèle n'est vérifié qu'à 2 % près environ : après usinage, chaque diapason doit être contrôlé par un nouvel enregistrement, puis ajusté si nécessaire.

Conseils pour réussir

Dans un problème ouvert, annoncez clairement la démarche et terminez par une liste d'instructions chiffrées. Raisonner par proportionnalité sur chaque diapason évite de calculer le terme sous la racine et conserve trois chiffres significatifs. L'acoustique musicale ne figure plus au programme actuel, mais la relation λ = v / f et l'analyse d'unités restent exigibles.