Le plus gros exercice de l'épreuve

L'exercice 2 du bac S Métropole rattrapage 2018 (ancien programme) compte 11 points, plus de la moitié de la note, pour une durée conseillée d'environ 1 h 50. Il suit la sonde Dawn, propulsée par un moteur ionique au xénon, jusqu'à l'astéroïde Cérès. La première partie étudie le moteur, la seconde le mouvement de la sonde en orbite. Beaucoup de questions sont des démonstrations guidées : le résultat est donné, il faut montrer comment on y arrive.

Partie 1 : le moteur ionique

Questions 1.1.1 et 1.1.2 : ioniser le xénon

Un photon ionise l'atome si son énergie h × c / λ dépasse l'énergie d'ionisation de 12,1 eV. On obtient une longueur d'onde maximale de 103 nm, dans l'ultraviolet. Le piège est de laisser l'énergie en électronvolts : il faut la convertir en joules.

Questions 1.2.1 à 1.2.4 : accélérer les ions

La masse d'un atome vaut M / NA, en pensant à convertir les grammes en kilogrammes. Le travail de la force électrique entre les grilles vaut e × U : la distance entre les grilles disparaît. Le théorème de l'énergie cinétique donne ensuite la vitesse d'éjection, environ 2,10 × 10⁴ m/s pour 300 V. Pour commenter, comparez-la à la célérité de la lumière : elle est environ 14 000 fois plus faible, ce qui justifie l'expression classique de l'énergie cinétique.

Questions 1.3.1 à 1.3.6 : la propulsion par réaction

Le système {sonde + atome} est isolé loin de tout astre : sa quantité de mouvement, nulle au départ, se conserve. La force d'éjection est intérieure au système, elle ne change pas la quantité de mouvement totale. On en déduit une vitesse de recul infime pour un seul atome, environ 3,7 × 10⁻²⁴ m/s. La réserve de 450 kg, consommée à 3,3 mg par seconde, dure environ 4,3 ans : attention au facteur 10⁶ entre kilogrammes et milligrammes. Enfin, le xénon est retenu car il est inerte et c'est le gaz inerte le plus facile à ioniser. Écrire qu'il a la plus faible énergie d'ionisation du tableau est faux : le césium et le sodium s'ionisent plus facilement, mais ils sont corrosifs.

Partie 2 : Dawn en orbite autour de Cérès

Questions 2.1 à 2.3 : force et vitesse

La force gravitationnelle est attractive, dirigée de Dawn vers Cérès, de valeur G × MC × MD / r², où r est la distance entre les centres. Avec la deuxième loi de Newton dans le repère de Frenet, l'absence de composante tangentielle de l'accélération prouve que le mouvement est uniforme. La composante normale donne la vitesse orbitale, indépendante de la masse de la sonde.

Questions 2.4 et 2.5 : la troisième loi de Kepler et la masse de Cérès

En écrivant T = 2πr / v puis en élevant au carré, on obtient T² / r³ = 4π² / (G × MC). L'application numérique demande r = R + h = 13 970 km et une période de 15 jours convertie en secondes. On trouve environ 9,6 × 10²⁰ kg, proche de la valeur de référence mais en dehors de son intervalle : l'écart s'explique par les arrondis de la période et de l'altitude.

Conseils de méthode

Sur un exercice aussi long, ne restez pas bloqué : les résultats intermédiaires sont donnés dans l'énoncé et permettent de continuer. Travaillez toujours en unités du Système international et soignez les commentaires demandés, qui rapportent des points faciles.