Une résolution de problème de spécialité

L'exercice 4 du bac S Métropole rattrapage 2018 (ancien programme) est l'exercice de spécialité, sur 5 points, à traiter à la place de l'exercice 3 par les candidats ayant suivi cet enseignement. Comptez environ 50 minutes. Le thème est géologique : l'eau de pluie légèrement acide dissout lentement la calcite du calcaire et creuse des cavités. Il faut estimer le temps qu'il a fallu pour former une cavité semblable au gouffre de Padirac. L'exercice ne comporte que deux questions, mais la seconde est un véritable problème ouvert.

Question 1 : le volume d'eau infiltrée en un an

On commence par lire le diagramme des précipitations de 2015 mois par mois. Le total vaut environ 852 mm, soit 8,5 × 10² litres d'eau par mètre carré, puisque 1 mm de pluie correspond à 1 L par m². La surface de l'ouverture est celle d'un disque de 35 m de diamètre, soit environ 9,6 × 10² m². En gardant 70 % de l'eau tombée, on obtient 5,7 × 10⁵ L, bien de l'ordre de 6 × 10⁵ L. Deux pièges : utiliser le diamètre au lieu du rayon dans πr², ce qui multiplie le résultat par 4, et oublier le facteur 0,70.

Question 2 : la masse de calcite dissoute par litre

La solubilité de la calcite augmente quand le pH diminue. Sur la plage de pH proposée, la plus grande valeur est 3 mmol/L, à pH 4,5. Avec une masse molaire du carbonate de calcium de 100,1 g/mol, on retrouve 0,3 g par litre.

Le problème : combien d'années pour creuser la cavité ?

La démarche

L'idée est de comparer le volume de roche à faire disparaître au volume de calcite emporté chaque année. Chaque litre d'eau infiltrée dissout au plus 0,3 g : en un an, cela fait 1,8 × 10² kg de calcite. Avec la masse volumique de 2,7 × 10³ kg/m³, ce sont environ 6,7 × 10⁻² m³ de roche par an.

Le volume de la cavité et la durée

En modélisant la cavité par un cylindre de 35 m de diamètre et de 103 m de hauteur, son volume vaut environ 9,9 × 10⁴ m³. Le rapport donne une durée de l'ordre de 1,5 × 10⁶ ans. Le piège principal est une conversion oubliée : la masse dissoute est en grammes et la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, ce qui fausse la durée d'un facteur 1 000.

Le commentaire

Cette durée est immense à l'échelle humaine mais cohérente avec les phénomènes géologiques. C'est une durée minimale, puisqu'on a pris la solubilité maximale et supposé l'eau saturée en calcite : à pH 6, la solubilité est 15 fois plus faible. C'est aussi un ordre de grandeur, qui suppose des précipitations constantes, une roche de calcite pure et une cavité cylindrique. Le corrigé fait remarquer un point élégant : la surface de l'ouverture intervient à la fois dans l'eau infiltrée et dans le volume de la cavité, elle se simplifie.

Conseils pour une résolution de problème

Annoncez votre démarche dès le début, nommez chaque grandeur intermédiaire et écrivez la relation littérale avant le calcul. Une démarche claire rapporte des points même si le résultat final est faux. Concluez par une phrase et discutez les hypothèses : c'est souvent là que se joue la différence entre une copie moyenne et une très bonne copie.