Le faisceau laser rencontre un obstacle très fin (le fil) et s'étale en une série de taches sur l'écran.

Dans le triangle rectangle formé par le fil, le centre de la tache centrale et l'une de ses extrémités, le côté opposé à $\theta$ mesure $\frac{L}{2}$ et le côté adjacent mesure $D$ :

$$\tan \theta =\frac{L/2}{D}=\frac{L}{2D}$$

L'angle est petit, donc $\tan \theta =\theta$ (en radians).

On égale les deux expressions de l'angle : $\theta =\frac{\lambda }{a}$ (donnée) et $\theta =\frac{L}{2D}$ (Q.2).

$$\frac{L}{2D}=\frac{\lambda }{a}\text{donc}L=\frac{2\lambda D}{a}=2\lambda D\times \frac{1}{a}$$

Pour un laser et une distance fixés, $2\lambda D$ est une constante : $L$ est bien proportionnelle à $\frac{1}{a}$.

Sur la figure 3, les six points sont pratiquement alignés et la droite qui passe au plus près de ces points passe par l'origine du repère.

Une droite passant par l'origine traduit une situation de proportionnalité.

$k$ est le coefficient directeur de la droite modèle. On trace la droite passant par l'origine et au plus près des points, puis on lit les coordonnées d'un point de cette droite, choisi loin de l'origine :

$\frac{1}{a}=20\times 10^3{\text{m}}^{-1}$ et $L=7,6\times 10^{-2}\text{m}$.

$$k=\frac{L}{1/a}=\frac{7,6\times 10^{-2}}{20\times 10^3}$$

$L=k\times \frac{1}{a}$ donc $a=\frac{k}{L}$.

$$a=\frac{3,85\times 10^{-6}}{8,0\times 10^{-3}}=4,8\times 10^{-4}\text{m}$$

$$u(a)=a\times \sqrt{{\left(\frac{u(k)}{k}\right)}^2+{\left(\frac{u(L)}{L}\right)}^2}$$

$$u(a)=4,81\times 10^{-4}\times \sqrt{{\left(\frac{0,05\times 10^{-6}}{3,85\times 10^{-6}}\right)}^2+{\left(\frac{0,5}{8,0}\right)}^2}=3,1\times 10^{-5}\text{m}$$

L'incertitude-type est arrondie à un seul chiffre significatif.

$$\frac{|a-a_{\text{reˊf}}|}{u(a)}=\frac{|0,48-0,45|}{0,03}=1,0$$

Le quotient est inférieur à 2 : la valeur mesurée s'écarte de la référence d'une seule incertitude-type, la mesure est compatible avec l'indication de la bobine.

Le diamètre du fil est donc bien de l'ordre de 0,5 mm, limite au-delà de laquelle les frelons le verraient.

Le matériau semi-conducteur de la cellule absorbe des photons. Si l'énergie d'un photon est suffisante, elle est transférée à un électron du matériau, qui est alors libéré ; la mise en mouvement de ces électrons dans le circuit constitue le courant électrique.

Le rendement est le rapport de la puissance électrique fournie à la puissance lumineuse reçue :

$$\eta =\frac{P_m}{P_{\text{lum}}}=\frac{P_m}{E\times S}$$

$$\eta =\frac{50}{1000\times 0,640\times 0,550}=\frac{50}{352}=0,14$$

$Q=I\times \Delta t$ donc $\Delta t_{\text{charge}}=\frac{Q_{\text{batterie}}}{I}$.

$$\Delta t_{\text{charge}}=\frac{18,0}{2,8}=6,4\text{h}$$

Cette durée, environ 6 h 30 min, est nettement inférieure à la durée d'une journée d'été : une seule journée bien ensoleillée suffit à recharger entièrement la batterie.

Loi des mailles (interrupteur fermé) : $E=u_R+u_C$.

Loi d'Ohm : $u_R=Ri$.

Pour le condensateur : $i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ et $q=C{u}_C$, avec $C$ constante, donc $i=C\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}$.

En remplaçant : $E=RC\frac{\mathrm{d}{u}_C}{\mathrm{d}t}+u_C$.

On divise chaque terme par $RC$ et on pose $\tau =RC$ :

Condition initiale : le condensateur est déchargé à $t=0$, donc $u_C(0)=0$.

$u_C(0)=A{\mathrm{e}}^0+E=A+E=0$, donc $A=-E$.

À la date $t=\tau$ : $u_C(\tau )=E(1-{\mathrm{e}}^{-1})=0,63\times E=0,63\times 5,0=3,2\text{V}$.

Sur la figure 6, on repère le point de la courbe d'ordonnée $3,2$ V et on lit son abscisse.

$\tau =RC$ donc $C=\frac{\tau }{R}$.

$$C=\frac{49\times 10^{-6}}{2,00\times 10^3}=2,5\times 10^{-8}\text{F}$$

Dans la harpe, le condensateur est chargé sous la tension $U_1$ et se décharge entièrement dans le frelon : l'énergie libérée est l'énergie emmagasinée.

$$E_{\text{cond}}=\frac{1}{2}\times C\times U_1^2=\frac{1}{2}\times 2,5\times 10^{-8}\times 1500^2$$

Durée du jour : $14\times 60+17=857$ min.

Durée de la nuit : $9\times 60+43=583$ min.

Le jour : $98,8\times 857=8,47\times 10^4\text{J}$. La nuit : $72,1\times 583=4,20\times 10^4\text{J}$.

$$E_{\text{module}}=8,47\times 10^4+4,20\times 10^4=1,27\times 10^5\text{J}$$

Comparaison : $\frac{E_{\text{module}}}{E_{\text{cond}}}=\frac{1,27\times 10^5}{2,8\times 10^{-2}}\approx 4,5\times 10^6$.

Énergie stockée dans la batterie : $E_{\text{batterie}}=Q\times U=18,0\times 3600\times 12,0=7,78\times 10^5\text{J}$.

Sans frelon, l'autonomie vaut $\frac{E_{\text{batterie}}}{E_{\text{module}}}=\frac{7,78\times 10^5}{1,27\times 10^5}=6,1$ jours : on retrouve les 6 jours annoncés.

Énergie des décharges pour 1 000 frelons par jour : $E_{\text{frelons}}=1000\times 2,8\times 10^{-2}=28\text{J}$ par jour.

Cette énergie ne représente que $\frac{28}{1,27\times 10^5}=0,02\%$ de la consommation quotidienne du module : sur 6 jours, environ $1,7\times 10^2$ J sur les $7,78\times 10^5$ J disponibles.