Corrigé interactif · 9 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Rappeler la condition d'obtention d'interférences constructives entre deux ondes issues d'une même source monochromatique, en fonction de δ et λ.
Les interférences sont constructives si la différence de chemin optique est un multiple entier de la longueur d'onde : les deux ondes arrivent alors en phase.
δ=kλ, avec k entier relatif.
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Q2Montrer que les épaisseurs donnant des interférences constructives vérifient e=(k+21)×2nfortλ, avec k entier positif ou nul.
Données utiles δ=2nforte−2λ ; condition δ=kλ (Q1)
Interférences constructives : δ=kλ, donc
2nforte−2λ=kλ
2nforte=kλ+2λ=(k+21)λ
L'épaisseur e est positive, ce qui impose k⩾0.
e=(k+21)×2nfortλ : c'est la relation attendue.
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Q3Déterminer l'épaisseur des couches d'un scarabée pour lequel λ=530 nm correspond à des interférences constructives. Préciser sa couleur apparente.
Données utiles k=0 ; λ=530 nm ; nfort=1,7
Pour k=0 : e=21×2nfortλ=4nfortλ
e=4×1,7530=78 nm
La radiation renforcée dans la lumière réfléchie a pour longueur d'onde 530 nm, ce qui correspond au vert dans le tableau.
e=78 nm ; le scarabée apparaît vert.
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Q4À partir de la figure 3, déterminer l'épaisseur moyenne e d'une couche, en explicitant la méthode qui donne la meilleure précision.
Données utiles la barre d'échelle représente 1 µm ; règle graduée en cm sur la figure
Indice Pour mesurer une petite grandeur répétée (couche, interfrange, période), mesurer N motifs d'un coup : l'erreur de lecture, toujours de l'ordre du millimètre, est divisée par N.
Mesurer une seule couche (environ 2 mm sur la figure) serait trop imprécis : on mesure la distance d occupée par un grand nombre de couches, puis on divise par ce nombre.
Sur la figure 3, lue avec la règle :
- la distance d couvre 9 couches (5 noires et 4 claires) : d=1,9 cm ;
- la barre d'échelle mesure 2,6 cm pour 1 µm.
Une couche occupe donc 9d sur la figure, et par proportionnalité :
e=9×2,61,9×1 µm=0,081 µm
e=81 nm, valeur proche des 78 nm de la question Q3.
Principe de la mesure sur la figure 3 : 9 couches dans la distance dTu avais trouvé ?
Q5Indiquer une source d'incertitude possible dans la mesure de l'épaisseur e faite à la question Q4.
Les distances sont lues sur une règle graduée au millimètre : pour d≈1,9 cm, une erreur de lecture de 1 mm représente déjà environ 5 %.
Source d'incertitude : la lecture des longueurs sur la règle, graduée seulement au millimètre.
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Q6Recopier la ligne 8 du programme et la compléter avec des valeurs appropriées, exprimées en cm.
Données utiles d=1,9 cm (Q4) ; ligne 7 : echelle = rd.uniform(2.6, 2.7, Nsim)
La distance d a été lue à 1,9 cm sur une règle graduée au millimètre : la vraie valeur se situe à une graduation près, entre 1,8 cm et 2,0 cm. Ce sont les bornes de l'intervalle dans lequel le programme tire les valeurs de d.
d_mes = rd.uniform(1.8, 2.0, Nsim)
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Q7Justifier la présence du nombre 1 000 dans l'expression de la ligne 11 du programme.
Données utiles ligne 11 : e = d_mes*1000/(9*echelle)
Le quotient d_mes/(9*echelle) est le calcul de la question Q4 : les deux longueurs sont en centimètres et la barre d'échelle représente 1 µm, donc ce quotient donne e en micromètres.
Le programme doit fournir e en nanomètres. Or 1 µm=10−6 m et 1 nm=10−9 m.
1 µm=1000 nm : le facteur 1 000 convertit l'épaisseur des micromètres en nanomètres.
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Q8Écrire le résultat de la mesure de emoyen avec un seul chiffre significatif pour l'incertitude-type, puis discuter la compatibilité avec la réponse à la question Q3 prise comme référence.
Données utiles u(e)=2,557… nm ; emoyen=75,487… nm ; eref=78 nm (Q3)
Indice Écriture d'un résultat : arrondir d'abord l'incertitude-type, puis arrondir la valeur au même rang décimal. Un quotient inférieur à 2 est le critère usuel de compatibilité.
Avec un seul chiffre significatif : u(e)=3 nm. L'incertitude-type porte sur le chiffre des unités, on arrondit donc la valeur moyenne au nanomètre : emoyen=75 nm.
emoyen=75 nm;u(e)=3 nm
Comparaison à la valeur de référence :
u(e)∣emoyen−eref∣=3∣75−78∣=1
L'écart entre les deux valeurs vaut une seule incertitude-type, ce qui est inférieur à 2.
emoyen=(75±3) nm ; quotient égal à 1 : la mesure est compatible avec la valeur de 78 nm.
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Q9Estimer la longueur d'onde qui correspond à des interférences constructives dans la zone 2, puis proposer une hypothèse pour la couleur perçue de cette zone.
Données utiles figure 5 ; nfort=1,7 ; k=0 ; e=4nfortλ (Q3)
Épaisseur d'une couche de la zone 2. Même méthode qu'à la question Q4, sur la photo de la zone 2 de la figure 5, avec une règle :
- 8 couches consécutives (4 noires et 4 claires) occupent d2=1,7 cm ;
- la barre d'échelle mesure 1,8 cm pour 1 µm.
e2=8×1,81,7×1 µm=0,118 µm=118 nm
Les couches de la zone 2 sont nettement plus épaisses que celles de la zone 1 (environ 80 nm).
Longueur d'onde renforcée. Pour k=0, e=4nfortλ, donc λ=4nforte :
λ2=4×1,7×118=8,0×102 nm
Couleur. Cette valeur est proche de la plus grande longueur d'onde du tableau (750 nm, rouge), à la limite du domaine visible. Compte tenu de l'imprécision de la mesure (1 mm sur d2 change λ2 d'environ 50 nm), les radiations renforcées se situent à l'extrémité rouge du spectre.
λ2≈8×102 nm : la zone 2 est probablement perçue rouge.
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La couleur des scarabées : des interférences en 5 points
L'exercice 2 du sujet de septembre 2025 en Métropole (jour 2) compte 5 points et 9 questions, soit environ 53 minutes. Il explique la couleur de certains scarabées par des interférences lumineuses dans un empilement de couches très fines. L'exercice mêle optique ondulatoire, mesure sur une image de microscope et traitement des incertitudes avec un programme Python : trois compétences très souvent évaluées au bac.
Interférences constructives et épaisseur des couches (Q1 à Q3)
La première question est une question de cours : les interférences sont constructives quand la différence de chemin optique est un multiple entier de la longueur d'onde, δ = kλ avec k entier. Le piège est de confondre avec la condition des interférences destructives, δ = (k + 1/2)λ. La question Q2 est une démonstration courte : en égalant l'expression de δ donnée par le sujet, qui contient un terme −λ/2, avec kλ, on obtient e = (k + 1/2) × λ/(2nfort). Comme l'épaisseur est positive, k est positif ou nul. Pour k = 0, l'épaisseur vaut λ/(4nfort) : avec λ = 530 nm et nfort = 1,7, on trouve e = 78 nm, et le scarabée apparaît vert. Oublier le facteur 1/2 donne le double, 156 nm.
Mesurer une épaisseur sur une image (Q4 et Q5)
Mesurer une seule couche, qui occupe environ 2 mm sur la figure, serait trop imprécis. La bonne méthode consiste à mesurer la distance couverte par plusieurs couches puis à diviser : 9 couches, cinq noires et quatre claires, occupent 1,9 cm, et la barre d'échelle de 1 µm mesure 2,6 cm. Par proportionnalité, on obtient 0,081 µm, soit 81 nm, proche des 78 nm calculés. Attention à compter aussi les couches claires. Comme source d'incertitude, on peut citer la lecture sur une règle graduée au millimètre : sur 1,9 cm, une erreur d'un millimètre représente déjà environ 5 %.
Le programme Python et l'incertitude-type (Q6 à Q8)
Le programme tire au hasard des valeurs de la distance mesurée dans un intervalle : pour une lecture de 1,9 cm à une graduation près, on écrit des bornes de 1.8 et 2.0, avec un point décimal comme l'exige Python. Le facteur 1 000 de la ligne 11 convertit l'épaisseur des micromètres en nanomètres. La question Q8 teste l'écriture d'un résultat : l'incertitude-type 2,557 nm s'arrondit à 3 nm, et la valeur moyenne au même rang, 75 nm. Le quotient de l'écart à la référence par l'incertitude-type vaut 1, inférieur à 2 : la mesure est compatible avec 78 nm. Recopier tous les chiffres affichés par Python est une erreur fréquente.
La zone 2 du scarabée (Q9)
La dernière question reprend la même méthode sur une autre photo : 8 couches occupent 1,7 cm pour une barre d'échelle de 1,8 cm, d'où une épaisseur d'environ 118 nm. La relation λ = 4nforte donne environ 8 × 102 nm, à l'extrémité rouge du spectre visible : la zone 2 est probablement perçue rouge. Les points portent sur les étapes, il faut donc annoncer chaque mesure.
Conseils
Gardez les longueurs d'onde en nanomètres pour obtenir directement des épaisseurs en nanomètres. Pour toute petite grandeur répétée, mesurez plusieurs motifs d'un coup. Et pour un résultat de mesure, arrondissez toujours l'incertitude avant la valeur.