Système {balle}, de masse $m$ ; référentiel terrestre supposé galiléen.

Les frottements de l'air étant négligés, la seule force est le poids $\vec{P}=m\vec{g}$.

Deuxième loi de Newton : $\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=m\vec{a}$, soit $m\vec{g}=m\vec{a}$, donc $\vec{a}=\vec{g}$.

Le vecteur $\vec{g}$ est vertical et dirigé vers le bas, alors que l'axe (Oy) est dirigé vers le haut :

Sur la chronophotographie, les positions successives de la balle sont alignées sur une même verticale : la balle ne se déplace pas selon (Ox), donc $v_x=0$.

De plus, la balle monte : $v_y>0$.

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_y^2}=|v_y|$$

Par définition, $\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}$. Sur l'axe (Oy) : $a_y=\frac{\mathrm{d}{v}_y}{\mathrm{d}t}=-g$.

On cherche une primitive : $v_y(t)=-g\times t+C$, où $C$ est une constante.

Condition initiale : à $t=0$, ${\vec{v}}_0$ est vertical vers le haut, donc $v_y(0)=v_0$, d'où $C=v_0$.

Comme $v_y(t)=v(t)$ :

Le modèle $v(t)=-g\times t+v_0$ est une fonction affine du temps, de coefficient directeur négatif $-g$ et d'ordonnée à l'origine $v_0$.

Sur la figure 3, les points expérimentaux sont alignés sur une droite décroissante qui ne passe pas par l'origine.

D'après le modèle, le coefficient directeur $k$ de la droite vaut $-g$.

On le calcule avec le premier et le dernier point, en convertissant les dates en secondes :

$$k=\frac{v_B-v_A}{t_B-t_A}=\frac{0,2-3,2}{0,300-0}=-10\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$$

La valeur obtenue ($10\text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}$) est un peu supérieure à la valeur de référence ($9,81\text{N}\cdot {\text{kg}}^{-1}$).

Les vitesses viennent d'un pointage sur une vidéo : le repérage du centre de la balle sur chaque image et l'étalonnage des distances sont imprécis, tout comme la lecture des valeurs sur le graphique.

Par définition, $\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t}$. Sur l'axe (Oy) : $v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-g\times t+v_0$.

On cherche une primitive : $y(t)=-\frac{1}{2}\times g\times t^2+v_0\times t+C^{\prime }$, où $C^{\prime }$ est une constante.

Condition initiale : à $t=0$, M est à l'origine O du repère, donc $y(0)=0$, d'où $C^{\prime }=0$.

Au sommet de la trajectoire, atteint à la date $t_S$, la vitesse de la balle s'annule :

$v(t_S)=0$, soit $-g\times t_S+v_0=0$, donc $t_S=\frac{v_0}{g}$.

La hauteur maximale est la position à cette date :

$$h_{MAX}=y(t_S)=-\frac{1}{2}\times g\times {\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2+v_0\times \frac{v_0}{g}=-\frac{v_0^2}{2g}+\frac{v_0^2}{g}=\frac{v_0^2}{2g}$$

Donc $v_0^2=2\times g\times h_{MAX}$.

La hauteur minimale imposée est $h_{MAX}=16\text{cm}=0,16\text{m}$.

Le programme utilise $g=9,81$ en unités du Système international : la hauteur se saisit en mètres, avec un point décimal.

$$v_0=\sqrt{2\times g\times h_{MAX}}=\sqrt{2\times 9,81\times 0,16}$$

$1\text{km}=1000\text{m}$ et $1\text{h}=3600\text{s}$, donc

$$1\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}=\frac{10^{-3}\text{km}}{\frac{1}{3600}\text{h}}=3,6\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$$

La ligne 10 affiche la variable $\text{v\_ini}$ : c'est elle que la ligne 8 doit calculer.

Pendant cette phase, la balle tombe.

• Elle est lâchée sans vitesse initiale puis sa vitesse augmente : l'énergie cinétique $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2$ part de zéro et augmente. C'est la courbe ●.
• Son altitude $y$ diminue : l'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}=mgy$ diminue jusqu'à zéro au niveau de la table. C'est la courbe ▲.
• L'énergie mécanique $E_m=E_c+E_{pp}$ est la somme des deux autres : elle est supérieure ou égale à chacune d'elles et reste presque constante. C'est la courbe ✚.

On calcule $E_m=E_c+E_{pp}$ à trois dates après le rebond :

• à $t\approx 0,255\text{s}$ : $E_m=6,1+0,6=6,7\text{mJ}$ ;
• à $t\approx 0,29\text{s}$ : $E_m=4,5+2,2=6,7\text{mJ}$ ;
• à $t\approx 0,32\text{s}$ : $E_m=3,3+3,4=6,7\text{mJ}$.

Au sommet du rebond, à la hauteur $h^{\prime }$, la vitesse de la balle est nulle : $E_c=0$, donc toute l'énergie mécanique est sous forme potentielle.

Comme $E_m$ se conserve après le rebond : $E_m=m\times g\times h^{\prime }$, soit $h^{\prime }=\frac{E_m}{m\times g}$.

$$h^{\prime }=\frac{6,7\times 10^{-3}}{2,7\times 10^{-3}\times 9,81}=0,25\text{m}$$

Le règlement prévoit un rebond d'environ 23 cm pour une chute de 30 cm. On trouve 2 cm de plus, soit un écart d'environ 9 %.

Le cinémomètre, immobile, émet une onde de fréquence $f_0$ vers la balle. La balle, qui est en mouvement par rapport à l'appareil, réfléchit cette onde vers le récepteur.

À cause de ce mouvement relatif, l'onde reçue a une fréquence $f_R$ différente de la fréquence émise $f_0$.

Le décalage Doppler est $\Delta f=f_R-f_0$.

Quand la balle se rapproche de l'appareil, l'onde réfléchie est reçue avec une fréquence plus grande que la fréquence émise : $f_R>f_0$.

L'onde est électromagnétique : sa célérité dans l'air est pratiquement celle de la lumière dans le vide, $c_{onde}=3,00\times 10^8\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.

On isole $v$ dans $|\Delta f|=2\times f_0\times \frac{v}{c_{onde}}$ :

$$v=\frac{|\Delta f|\times c_{onde}}{2\times f_0}=\frac{4470\times 3,00\times 10^8}{2\times 24,125\times 10^9}$$

On convertit la vitesse du smash : $v=27,8\times 3,6=100\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}=1,00\times 10^2\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$.

Le record vaut $112,5\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}=1,125\times 10^2\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$.

Les deux vitesses ont la même puissance de dix la plus proche, $10^2\text{km}\cdot {\text{h}}^{-1}$.