Voyage interplanétaire : la mission vers Mars et la troisième loi de Kepler

Troisième exercice du bac S 2014 en Métropole, réservé aux candidats qui n'ont pas suivi l'enseignement de spécialité, « Voyage interplanétaire » vaut 5 points et se traite en 50 minutes environ. Il suit la mission MSL qui a conduit le robot Curiosity sur Mars, du 26 novembre 2011 au 6 août 2012, sur une orbite de transfert dite de Hohmann. Peu de calculs, mais chacun demande de la rigueur sur la géométrie de l'ellipse et sur les unités.

Question 1 : les phases du voyage

Cette question d'extraction attend trois phases tirées du document 1 : l'échappement à l'attraction terrestre, le transfert sur l'orbite de Hohmann sous l'attraction du Soleil, puis la capture par Mars. Associer chaque phase à l'astre dont l'attraction domine permet une réponse claire et rapide.

Question 2 : le demi-grand axe de l'orbite de transfert

Sur l'annexe, le vaisseau parcourt la moitié de l'ellipse, du périhélie P sur l'orbite terrestre à l'aphélie A sur l'orbite martienne. Comme A, S et P sont alignés, le grand axe vaut R₁ + R₂, d'où a = (R₁ + R₂)/2 = 1,89 × 10⁸ km. Le piège est de placer le Soleil au centre de l'ellipse : il en occupe un foyer, et les distances se mesurent depuis lui.

Question 3 : durée du voyage et analyse dimensionnelle

En 3.1, on exprime la durée du trajet comme une demi-période, Δt = T/2, puis on utilise la troisième loi de Kepler pour obtenir Δt = π√(a³/(G M_S)). L'analyse dimensionnelle montre que le quotient a³/(G M_S) s'exprime en s², donc que sa racine est bien une durée. Oublier le facteur 2 doublerait la durée calculée. En 3.2, il faut convertir a en mètres, soit 1,89 × 10¹¹ m, avant l'application numérique : on obtient 2,24 × 10⁷ s, soit 259 jours. Le décompte des jours entre les deux dates, en tenant compte du 29 février 2012, donne 254 jours. L'écart d'environ 2 % s'explique par les simplifications du modèle : orbites supposées circulaires, phases de départ et d'arrivée, corrections de trajectoire.

Question 4 : la fenêtre de tir

Cette question ouverte demande la position de Mars au départ. Pendant les 259 jours du voyage, Mars, en mouvement circulaire uniforme de période 687 jours, balaie un angle β = 360 × 259/687 ≈ 136°. Le point de rendez-vous étant diamétralement opposé au point de départ, α + β = 180°, d'où α = 44° : au lancement, Mars doit être en avance de 44° sur la Terre. Les deux durées doivent être exprimées dans la même unité avant de faire leur rapport.

Conseils pour réussir

Annoncez la démarche avant de calculer, surtout dans la question ouverte, et gardez trois chiffres significatifs comme les données. Vérifiez systématiquement que G est utilisé avec des distances en mètres. Les lois de Kepler et le mouvement circulaire restent au programme actuel de spécialité : cet exercice est un entraînement directement utile.