Corrigé interactif · 9 questions
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Cherche d'abord la question sur le sujet, puis compare avec ce qu'il faut écrire sur ta copie.
Q1Prévoir qualitativement le sens de variation de la capacité C du détecteur quand la teneur en eau d'un sol argileux augmente.
Indice « Prévoir qualitativement » : aucun calcul, mais un raisonnement en deux temps. D'abord ce que montre le graphique, puis la relation qui relie la grandeur lue à la grandeur demandée.
D'après la figure 2, la permittivité ε du sol argileux augmente avec sa teneur en eau.
Or C=dεS, avec S et d fixés : C est proportionnelle à ε.
Quand la teneur en eau augmente, la capacité C augmente.
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Q2Montrer que uC obéit à l'équation différentielle E=τ×dtduC+uC et exprimer le temps caractéristique τ en fonction de R et de C.
Interrupteur fermé, la loi des mailles donne : E=uR+uC.
Loi d'Ohm : uR=Ri.
Pour le condensateur : i=dtdq et q=CuC, avec C constante, donc i=CdtduC.
En reportant : E=RCdtduC+uC.
C'est l'équation proposée, par identification :
E=τdtduC+uC avec τ=RC
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Q3Vérifier que uC(t)=E×(1−e−t/τ) est solution de l'équation différentielle et satisfait à la condition imposée à t=0 s.
Indice « Vérifier » ne demande pas de résoudre l'équation : on dérive la fonction proposée, on remplace dans un membre et on retrouve l'autre. Puis on teste la condition initiale.
On dérive : dtduC=E×τ1e−t/τ.
On calcule le second membre de l'équation :
τdtduC+uC=Ee−t/τ+E−Ee−t/τ=E
L'égalité est vraie à chaque instant : la fonction est solution.
Condition initiale : uC(0)=E×(1−e0)=E×(1−1)=0, ce qui correspond au condensateur déchargé à t=0 s.
uC(t)=E(1−e−t/τ) vérifie l'équation différentielle et uC(0)=0 V.
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Q4Montrer que la valeur de uC à l'instant τ est approximativement uC(τ)=0,63×E.
On remplace t par τ :
uC(τ)=E×(1−e−τ/τ)=E×(1−e−1)
Or 1−e−1=0,632.
uC(τ)=0,632×E≈0,63×E
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Q5Montrer que le temps caractéristique τ du circuit RC doit être au minimum de l'ordre de 200 µs.
Données utiles 52 000 valeurs de tension relevées par seconde ; au moins 10 valeurs avant d'atteindre τ
Durée entre deux mesures successives : Te=520001=1,9×10−5 s.
Il faut au moins 10 mesures avant l'instant τ, donc :
τ⩾10×Te=5200010=1,9×10−4 s
τmin=1,9×10−4 s=190 µs, soit de l'ordre de 200 µs.
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Q6À l'aide de la contrainte sur le temps caractéristique τ, déterminer la teneur minimale en eau d'un sol argileux mesurable avec ce dispositif.
Données utiles S=1,0×10−1 m2 ; d=1,0×10−2 m ; R=2,2×105 Ω ; τmin=200 µs (Q5) ; figure 2
Indice Question à prise d'initiative : annoncer la démarche (relier τ à ε, calculer εmin, lire la teneur sur la figure 2), puis la dérouler. Une démarche claire rapporte des points même inachevée.
On relie τ à la permittivité : τ=RC (Q2) et C=dεS,
donc τ=dRεS.
La contrainte τ⩾τmin s'écrit : ε⩾RSτmind.
εmin=2,2×105×1,0×10−1200×10−6×1,0×10−2=9,1×10−11 F⋅m−1
soit εmin=0,91×10−10 F⋅m−1.
Sur la figure 2, l'ordonnée 0,91 correspond à une teneur en eau d'environ 15 %. Comme ε augmente avec la teneur en eau, la contrainte impose une teneur supérieure à cette valeur.
Teneur en eau minimale mesurable : environ 15 %.
ε=0,9115 %ε (×10−10 F⋅m−1)Teneur en eau (%) Figure 2 du sujet, avec la lecture de la teneur minimaleTu avais trouvé ?
Q7Indiquer l'objectif final de cet extrait de programme.
Le programme relève l'instant initial ti, répète la mesure de la tension tant qu'elle n'a pas atteint un seuil, relève alors l'instant final tf et calcule tf−ti.
L'extrait de programme sert à mesurer puis afficher le temps caractéristique τ du circuit RC.
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Q8Recopier la ligne 5 du programme et compléter la condition sur la valeur de la tension aux bornes du condensateur.
Données utiles uC(τ)=0,63×E (Q4)
La boucle doit s'arrêter à l'instant τ, c'est-à-dire quand la tension atteint 0,63×E (Q4). Elle se répète donc tant que la tension est inférieure à cette valeur.
while tension < 0.63*E
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Q9Déterminer si la teneur en eau mesurée dans ce sol argileux est suffisante pour y assurer une croissance normale d'une plante.
Données utiles τ=0,28676887987 ms ; S=1,0×10−1 m2 ; d=1,0×10−2 m ; R=2,2×105 Ω ; teneur en eau requise : entre 24 % et 38 % ; figure 2
Comme en Q6, τ=dRεS, donc ε=RSτd, avec τ=0,287×10−3 s.
ε=2,2×105×1,0×10−10,287×10−3×1,0×10−2=1,3×10−10 F⋅m−1
Sur la figure 2, cette permittivité correspond à une teneur en eau d'environ 21 %.
Cette valeur est inférieure à 24 %, borne basse de l'intervalle permettant une croissance normale.
Teneur en eau d'environ 21 %<24 % : elle est insuffisante, il faut arroser.
ε=1,321 %ε (×10−10 F⋅m−1)Teneur en eau (%) Figure 2 du sujet, avec la lecture de la teneur en eau mesuréeTu avais trouvé ?
Un détecteur d'humidité du sol : un exercice d'électricité de 6 points
Le troisième exercice du bac 2023 de physique-chimie en Métropole (jour 2) vaut 6 points, pour une durée conseillée d'environ 1 h 03. Il étudie un capteur qui mesure la teneur en eau d'un sol argileux. Le principe est élégant : le sol joue le rôle d'isolant entre les armatures d'un condensateur plan, et sa permittivité dépend de la quantité d'eau qu'il contient. En mesurant le temps caractéristique d'un circuit RC, un microcontrôleur remonte jusqu'à l'humidité du sol. Les neuf questions mêlent cours sur le circuit RC, exploitation d'un graphique et lecture d'un programme Python.
Capacité et équation différentielle (Q1 et Q2)
La première question est qualitative : la figure 2 montre que la permittivité augmente avec la teneur en eau, et la relation C = εS/d indique que la capacité lui est proportionnelle. La capacité augmente donc avec l'humidité. Pour établir l'équation différentielle, trois relations sont attendues une par une : la loi des mailles, la loi d'Ohm et i = C duC/dt. Passer directement au résultat coûte des points. Par identification, le temps caractéristique vaut τ = RC.
Solution et temps caractéristique (Q3 et Q4)
« Vérifier » ne demande pas de résoudre : on dérive la fonction proposée, on la reporte dans l'équation et on retrouve E, puis on contrôle que uC(0) = 0, ce qui traduit un condensateur initialement déchargé. L'erreur de signe dans la dérivée de l'exponentielle est le piège principal. En remplaçant t par τ, on obtient uC(τ) = E(1 - e-1), soit environ 0,63 E. Ce résultat, indépendant de R et de C, fournit une méthode simple pour mesurer τ.
Contrainte de mesure et teneur minimale (Q5 et Q6)
Le dispositif relève 52 000 valeurs par seconde et doit en obtenir au moins 10 avant l'instant τ. On trouve τmin = 1,9 × 10-4 s, soit 190 µs, de l'ordre de 200 µs. Une erreur de conversion des microsecondes fausse le résultat d'un facteur dix. La question 6 est à prise d'initiative : en combinant τ = RC et C = εS/d, on calcule une permittivité minimale de 9,1 × 10-11 F/m. L'axe de la figure étant gradué en 10-10 F/m, il faut lire l'ordonnée 0,91, qui correspond à une teneur en eau d'environ 15 %. Annoncer la démarche avant de la dérouler rapporte des points, même si elle reste inachevée.
Le programme Python et le diagnostic (Q7 à Q9)
L'extrait de programme relève un instant initial, attend que la tension atteigne un seuil, puis calcule la durée écoulée : il mesure le temps caractéristique. La condition de la boucle s'écrit donc tension < 0.63*E, avec un point comme séparateur décimal. Pour conclure, le programme affiche τ en millisecondes : il faut le convertir en secondes avant de calculer la permittivité, environ 1,3 × 10-10 F/m. La figure donne alors une teneur en eau d'environ 21 %, inférieure aux 24 % nécessaires à une croissance normale : il faut arroser.
Conseils pour réussir
Surveillez les puissances de dix et les unités des axes, et vérifiez la cohérence des résultats entre eux : la teneur mesurée doit dépasser la teneur minimale trouvée en Q6.