Capacité thermique massique du cuivre : un exercice de thermodynamique guidé
L'exercice 4 du jour 2 du bac 2022 de physique-chimie Centres étrangers 1, noté sur 5 points, correspond à l'exercice C du sujet officiel, l'un des trois exercices au choix. Prévoyez environ 53 minutes. Un échantillon de cuivre est d'abord chauffé dans une étuve à 100,0 °C, ce qui permet d'établir et de résoudre une équation différentielle, puis il est plongé dans l'eau d'un calorimètre pour déterminer sa capacité thermique massique.
Sens du transfert et premier principe
Le transfert thermique se fait spontanément du corps chaud vers le corps froid : l'air de l'étuve, à 100,0 °C, cède de l'énergie au cuivre, initialement à 20,5 °C, et Q est positif. Pour la question 2, il faut énoncer le premier principe, ΔU = W + Q, justifier que le travail est nul, puis utiliser ΔU = m·c·Δθ pour un système incompressible. Écrire directement Q = m·c·Δθ sans ce raisonnement coûte des points.
Du flux thermique à l'équation différentielle
Le flux thermique est une puissance : sur une durée courte, Q = Φ·Δt. En égalant les deux expressions de Q et en utilisant la loi phénoménologique de Newton, on obtient une relation entre les grandeurs. On divise alors par m·c·Δt, on fait tendre Δt vers 0 pour faire apparaître la dérivée, et on regroupe les termes en θ pour retrouver la forme demandée, avec un temps caractéristique τ = m·c/(h·S).
Résoudre et exploiter la solution
Aux temps longs, l'exponentielle tend vers 0 et la température tend vers celle du thermostat : B vaut 100,0 °C. La condition initiale donne A = θa − θth, soit −79,5 °C. Le piège est d'écrire A = θa en oubliant que θ(0) = A + B. L'application numérique impose deux conversions : 44,8 g en kilogrammes et 22 cm² en mètres carrés, soit 22 × 10⁻⁴ m². On trouve τ = 784 s, ce qui conduit à l'expression θ(t) = 100 − 79,5·e^(−t/784). Pour savoir quand le cuivre dépasse 99 °C, on isole l'exponentielle puis on prend le logarithme népérien : t1 = 784 × ln(79,5), soit environ 3,43 × 10³ s, un peu moins d'une heure, ou environ 4,4 temps caractéristiques.
La mesure calorimétrique
L'ensemble cuivre et eau est supposé isolé : la somme des variations d'énergie interne est nulle. Chaque variation s'écrit température finale moins température initiale, ce qui donne un terme négatif pour le cuivre qui se refroidit. On en tire l'expression de c demandée. Avec 100 g d'eau passant de 20,5 °C à 23,1 °C, on obtient c ≈ 3,2 × 10² J·kg⁻¹·K⁻¹, inférieure à la valeur tabulée de 385 J·kg⁻¹·K⁻¹, soit un écart d'environ 18 %.
Expliquer l'écart
Il faut chercher l'hypothèse la moins bien vérifiée. Le cuivre se refroidit dans l'air pendant son transfert, le calorimètre absorbe une partie de l'énergie et l'enceinte n'est pas parfaitement calorifugée : l'eau reçoit moins d'énergie que prévu, et c est sous-estimée. De plus, l'élévation de température de 2,6 °C n'a que deux chiffres significatifs : une erreur de 0,1 °C modifie déjà le résultat d'environ 4 %.
Conseils
Cet exercice est très guidé et la forme de chaque résultat est donnée. Profitez-en pour vérifier vos calculs, rédiger proprement le passage à la limite et la détermination des constantes, et soigner les conversions d'unités, source principale d'erreurs.