Atterrissage du premier étage d'une fusée : cinématique et deuxième loi de Newton

L'exercice 4 du sujet Amérique du Sud 2022 (jour 1) est l'un des exercices de 5 points, prévu pour environ 53 minutes. Il étudie la descente verticale du premier étage d'une fusée réutilisable, à partir de deux graphiques : la vitesse et l'altitude en fonction du temps. L'objectif est de savoir si l'atterrissage s'effectue « en douceur », c'est-à-dire avec une vitesse verticale inférieure à 6 m·s^-1.

Les passages clés, question par question

Q1 : tracer les vecteurs vitesse

La modélisation v_y = 2,80t − 13,6 donne −12,2 m·s^-1 à 0,50 s et −6,6 m·s^-1 à 2,50 s. À l'échelle 1 cm pour 6,0 m·s^-1, les flèches mesurent 2,0 cm et 1,1 cm. Elles sont verticales et dirigées vers le bas, car v_y est négative : l'étage descend. Ne pas se laisser tromper par l'axe orienté vers le haut.

Q2 : l'accélération et la nature du mouvement

La coordonnée a_y est la dérivée de v_y, donc le coefficient directeur de la droite : a_y = 2,80 m·s^-2, constante. Elle est positive alors que la vitesse est dirigée vers le bas : les deux vecteurs sont de sens opposés. Le mouvement est rectiligne uniformément ralenti. Le piège consiste à conclure « a_y positive donc mouvement accéléré » : c'est le sens relatif de l'accélération et de la vitesse qui compte.

Q3 : le schéma des forces

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, le premier étage subit son poids, vers le bas, et la poussée du moteur, vers le haut. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe donne F − P = m·a_y. Comme a_y est positive, la poussée l'emporte sur le poids : sa flèche doit être plus longue. La somme des forces a le sens de l'accélération, pas celui de la vitesse.

Q4 : établir l'équation horaire

L'altitude est une primitive de la vitesse : y = 1,40t² − 13,6t + C. La constante se détermine par la lecture de l'altitude initiale sur le graphique 2, environ 33 m. Oublier cette constante, ou la poser nulle, est l'erreur la plus fréquente. Une vérification rapide à 2,50 s donne 7,75 m, en accord avec le graphique.

Q5 et Q6 : la vitesse au contact du sol

L'étage touche le sol quand y = 0. Le discriminant vaut 0,16 et l'équation a deux solutions, 4,71 s et 5,00 s ; on retient la première, la seule qui corresponde à une descente. La vitesse vaut alors environ 0,40 m·s^-1. Il faut garder la valeur complète de la date dans la calculatrice : arrondir trop tôt fausse nettement le résultat, car il s'agit d'une petite différence entre deux grands nombres. Avec 0,40 m·s^-1, soit quinze fois moins que la limite de 6 m·s^-1, l'atterrissage se fait en douceur.

Conseils pour réussir

Lisez les signes des coordonnées avant de dessiner un vecteur. Pour un schéma de forces, nommez chaque force, écrivez la deuxième loi de Newton puis projetez-la. Et pour une équation du second degré, justifiez toujours le choix de la solution retenue.