Astronomie et littérature : la lunette de Victor Hugo

Ce quatrième exercice, réservé aux candidats de spécialité, vaut 4 points, soit environ 52 minutes. Il part d'un texte où Arago raconte comment Victor Hugo a observé la Lune à travers une grande lunette, et compare l'effet obtenu à celui d'un bougeoir changé en tour. L'exercice mobilise le diamètre apparent, les lentilles minces convergentes et la lunette astronomique afocale.

Partie 1 : diamètre apparent et grossissement

Le diamètre apparent d'un objet de hauteur h vu à la distance d s'obtient dans un triangle rectangle : tan(α) = h / d, et pour un petit angle exprimé en radian, α ≈ h / d. Le même raisonnement donne α' ≈ H / d pour une tour de hauteur H. Le grossissement G = α' / α se simplifie alors en H / h, soit 69 m divisé par 0,17 m, environ 4,1 × 10², voisin de 400 : la comparaison d'Arago tient. Il faut exprimer les deux hauteurs dans la même unité.

La question littéraire demande pourquoi Arago parle d'un grand voyage. À taille fixée, le diamètre apparent est inversement proportionnel à la distance : multiplier le diamètre apparent de la Lune par 400 revient à la voir 400 fois plus près. Le rapport des distances citées, 90 000 lieues sur 225 lieues, vaut exactement 400. Inutile de convertir les lieues, puisqu'un rapport de deux longueurs est sans dimension.

Partie 2 : l'objectif et l'image intermédiaire

La Lune, à 384 400 km, est un objet à l'infini pour un objectif de 6,0 m de distance focale : son image se forme dans le plan focal image. Pour la construction, le rayon qui passe par le centre optique n'est pas dévié, et les rayons parallèles venant du même point convergent en un foyer secondaire. Le piège est de faire passer ces rayons inclinés par le foyer principal. La taille de l'image vaut α × f'₁ = 8,5 × 10⁻³ × 6,0, soit 5,1 cm, avec α en radian et la valeur de 8,5 mrad imposée par le sujet.

Partie 3 : la lunette afocale

Une lunette afocale donne une image définitive à l'infini, ce qui impose de placer l'image intermédiaire dans le plan focal objet de l'oculaire. Le foyer image de l'objectif et le foyer objet de l'oculaire sont donc confondus, et le foyer image de l'oculaire est situé à 1,5 cm de son centre optique. Pour construire l'image à l'infini, on trace le rayon non dévié issu du point image intermédiaire passant par le centre de l'oculaire : tous les rayons émergents lui sont parallèles. Le diamètre apparent de l'image vaut alors α' ≈ A₁B₁ / f'₂.

En exprimant les deux angles avec la même longueur A₁B₁, elle se simplifie et l'on obtient G = f'₁ / f'₂. Avec f'₁ = 6,0 m et f'₂ = 1,5 cm, G = 4,0 × 10², ce qui confirme le grossissement de 400 rapporté par le texte. Oublier de convertir f'₂ en mètres donnerait un grossissement de 4.

Conseils pour réussir

Retenez deux règles qui suffisent pour toute la lunette : un objet à l'infini donne une image dans le plan focal image, et une image à l'infini provient d'un objet placé dans le plan focal objet. Faites des constructions soignées à la règle et travaillez toujours avec des angles en radian.